$4$ las bolas se distribuyen aleatoriamente en $3$ células. ¿Cuál es la probabilidad de que haya una celda que contenga exactamente $2$ ¿Bolas?

Question

$4$ las bolas se distribuyen aleatoriamente en $3$ células ( $3^4=81$ posibilidades de igual probabilidad).

¿Cuál es la probabilidad de que haya una celda que contenga exactamente $2$ ¿Bolas?

La respuesta correcta es: $\frac{2}{3}$ pero no sé en qué me he equivocado.

Esta era mi idea:

Definamos: $\forall _{i=1,2,3}:A_i$ = El evento que la célula # $i$ contiene exactamente $2$ bolas.

Entonces, según el Principio de inclusión-exclusión la respuesta debería ser:

$P_{solution} = P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2 \cap A_3)$

Dónde: $$ \forall _{i=1,2,3}: \quad P(A_i)=\frac{{4 \choose 2}*2^2}{3^4}=\frac{8}{27} $$ $$ \forall_{i \neq j}: \quad P(A_i \cap A_j)= \frac{{4 \choose 2}*2}{3^4}=\frac{4}{27} $$ $$ P(A_1\cap A_2 \cap A_3)=0 $$

y así:

$$P_{solution}=3*\frac{8}{27}-3*\frac{4}{27} = \frac{4}{9}$$

Puedo ver que SI mi cálculo de $P(A_i \cap A_j)$ fue $\frac{{4 \choose 2}}{3^4}$ (sin multiplicar por $2$ ), entonces sería correcto, pero no puedo dejar de preguntarme por qué. Tengo que multiplicar por $2$ . Supongamos que miramos la celda nº 1 y la celda nº 2: tengo que elegir $2$ bolas fuera de $4$ , eso es $4 \choose 2$ . Digamos que elegí las bolas $\{1,3\}$ y $\{2,4\}$ entonces debo decidir qué celda recibirá el $\{1,3\}$ y que el $\{2,4\}$ . Eso es $2$ opciones, por lo que multiplicamos por $2$ .

¿Alguna idea? ¿En qué me he equivocado? ¿Puede mostrarme sus soluciones?

Answer 1

Elección de $\{1,3\}$ y la papelera $2$ equivale a elegir $\{2,4\}$ y elegir la papelera $1$ .

Quizás una forma más limpia de encontrar el numerador para $\Pr(A_1\cap A_2)$ es tratando la bola1 como especial. Elige en qué contenedor va la bola1: $2$ opciones. Elige qué otra bola va con la bola 1: $3$ opciones. Las bolas restantes van al otro cubo. Esto da un numerador de $2\times 3 = 6$ a diferencia de su $12$ que tuviste en tu intento.

Para un enfoque alternativo para verificar la respuesta de $\frac{2}{3}$ Veamos qué resultados fueron "malos". Por el principio de encasillamiento, toda disposición tendrá al menos un cubo con al menos dos bolas dentro. Vemos entonces que los únicos resultados malos son aquellos en los que tenemos un cubo con exactamente tres bolas dentro o un cubo con exactamente cuatro.

Por exactamente tres, elige qué balón no formaba parte de los tres. Elige en qué cubo va. Luego, elige en qué cubo van las tres. Para exactamente cuatro, elige en qué cubo van todas. $\frac{4\cdot 3\cdot 2}{3^4}+\frac{3}{3^4} = \frac{1}{3}$ y así la probabilidad que buscábamos originalmente es $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$

Answer 2

En el enfoque que usted adopta, debería serlo,

$P = \displaystyle 3 \cdot {4 \choose 2} \cdot \frac{2^2}{3^4} - 3 \cdot {4 \choose 2} \cdot \frac{1}{3^4}$

Tenga en cuenta que $ \displaystyle P(A_i \cap A_j) = {4 \choose 2} \cdot \frac{1}{3^4}$

Explicación: Una vez que elija dos de las tres celdas para $2$ bolas cada una, hay ${4 \choose 2}$ formas de elegir las bolas para la primera de las dos celdas seleccionadas y las dos restantes van a la segunda celda. Es decir, ya están ordenadas y no hay que multiplicar por $2$ .

Sin embargo, para esta pregunta, en lugar del Principio de Inclusión Exclusión, puede elegir también el recuento directo, ya que sólo hay dos casos.