¿La palabra "entero" sólo tiene sentido en base 10?

Question

¿La palabra "entero" sólo tiene sentido en base 10?

Siempre me lo he preguntado y nunca he visto que se hable de ello en ningún sitio.

Todos entendemos la definición típica de un número irracional, cuando un número no puede expresarse como un cociente a/b donde a y b son números enteros y b es distinto de cero.

¿Y qué pasa si trabajamos en base pi? Entonces podríamos simplemente escribir pi como 10/1 o algo así.

Sin embargo, no creo que podamos eliminar la irracionalidad de un número simplemente cambiando las bases, pero quería ver si había tal vez otras definiciones que pudieran ayudar aquí.

Answer 1

Los naturales proceden de sumar 1 un número finito de veces a 0. Los enteros incluyen éstos y sus negativos. Ninguno de estos enunciados hace referencia a la base numérica necesaria para expresarlos como numerales. Entonces los racionales vuelven a ser cocientes de los enteros sin referencia a la base.

La equivalencia de esta definición de racional con las expansiones numéricas terminadas o repetidas depende de que la base sea un racional. Si se quieren escribir números en base $\pi$ lo natural sería escribir $\pi=10_\pi$ pero luego $4$ y $9$ que tendrá expansiones de aspecto "irracional". Esto es un artefacto del uso de una base irracional.

Answer 2

Que $\pi$ es irracional significa que $\pi$ no es racional, es decir $\pi \not\in \mathbb Q.\:$ Se trata de una afirmación teórica de conjuntos cuya verdad depende únicamente de los conjuntos de racionales y reales y de la relación de pertenencia en el universo teórico de conjuntos ambiental. Su verdad no depende de la información sintáctica, como la forma en que el elementos de los conjuntos están representados o anotados. Sigue siendo cierto en todas las representaciones de los reales: representación del radix en alguna base, fracciones continuas, secuencias de Cauchy, cortes de Dedekind, etc.

Tal vez lo que usted está contemplando es una noción más general de (ir)racional, como una noción de ser racional en relación con un dominio terreno, es decir, decir que r es Z-racional si r se encuentra en el campo de fracciones de Z. Uno podría entonces pasar a estudiar criterios análogos para Z-irracionalidad, etc. Esta noción más general de irracionalidad no suele coincidir con el caso especial clásico Z $= \mathbb Z = $ enteros.

Answer 3

Como apunte: un buen ejemplo de sistema numérico con base irracional aparece en:

Un sistema numérico de base irracional por George M. Bergman. Revista de matemáticas 31 (1957/58), pp. 98-110. Enlace a JSTOR

que describe cómo hacer la base aritmética $\phi$ (la proporción áurea). Pero no hay que confundir los números con su representaciones como señala Ross más arriba.

Me gustaría señalar que el artículo anterior es el trabajo revisado por pares con el autor más joven que conozco: fue presentado cuando Bergman tenía 12 años, y la nota que acompaña a su madre está impresa en la página 91 de la revista:

Estimado Sr. James:

"El trabajo presentado es obra de mi hijo de doce años, que tardó más de un año en armarse de valor para someterlo al escrutinio editorial.

Quizá le interese saber que cuando mi hijo recibió por primera vez una suscripción a Revista de matemáticas hace unos dos años y medio, se horrorizó al comprobar que no podía entender un cosa única en ella. Sin embargo, con cada número sucesivo, su comprensión se fue ampliando (es un matemático autodidacta) hasta que ahora espera cada número con impaciencia, y recientemente pudo presentar su solución a una de las Propuestas publicadas en su último número. Considera que su suscripción a Revista de matemáticas uno de los mejores regalos que ha recibido".

Atentamente,

Sylvia Bergman

Citando a Tom Lehrer: "Es gente como esta la que te hace ver lo poco que has conseguido..."

Answer 4

¿La palabra "entero" sólo tiene sentido en base 10?

No. La pertenencia de un número al conjunto $\mathbb{Z}$ (o $\mathbb{Q}$ o $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ ) es una propiedad del abstracto número y no tiene nada que ver con el número representándola. El número que llamamos "cuarenta y dos" es un número entero tanto si se escribe como 42 o 0x2A o 101010 o *36 o XLII o מב o +---0 .

¿Y qué pasa si trabajamos en base pi? Entonces podríamos simplemente escribir pi como 10/1 o algo así.

Funciona como cualquier otro sistema numérico posicional. Recordemos que en base $r$ el número denotado por $d_n \dots d_3 d_2 d_1 d_0 . d_{-1} d_{-2} d_{-3} \dots$ se define como $d_nr^n + \dots + d_3r^3 + d_2r^2 + d_1r + d + d_{-1}r^{-1} + d_{-2} r^{-2} + d_{-3}r^{-3} + \dots$

En todas las bases, el número "10" indica la propia base. Así que π en base π es simplemente "10".

Pero 10 en base π es $100.010221... = \pi^2 + \pi^{-2} + 2\pi^{-4} + 2\pi^{-5} + \pi^{-6} + \dots$ y en general los números enteros tenderán a tener representaciones no terminales en bases irracionales, al igual que los números irracionales tienen representaciones no terminales en bases enteras.