Considere $C[0,1]$ el espacio lineal normado de todas las funciones continuas de valor real dentro del intervalo dado. La norma dotada a este espacio es $\|f\|_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$ .
Considere el subconjunto $M := \{ f\in C[0,1] : (\exists c\in[-2,1])(\forall x\in [0,1])(f(x)=c)\}$ de $C[0,1]$ .
Queremos mostrar si este subconjunto es abierto, cerrado o ninguno. Intuitivamente, dado $[0,1]$ y $[-2,1]$ son subconjuntos cerrados, entonces $[0,1] \times [-2,1]$ también se cerraría.
Por definición, $M$ sería cerrado si y sólo si para cada secuencia $(x_{n})_{n \in \mathbb N} $ en $M$ que converge a un punto $ x \in C[0,1]$ el límite está en $M$ .
Supongamos que tenemos una secuencia $(x_{n})$ en $M$ tal que $(x_{n}) \to {x}$ como ${n} \to \infty$
Por la continuidad de $C[0,1]$ esto supone que $f(x_{n}) \to f({x})\in M \subset X$ como ${n} \to \infty $ .
Utilizando la norma, $0 \le \|f(x_n)-f(x)\|_{\infty} = \sup_{x \in [0,1]} |f(x_n) - f(x)| \le \sup_{x \in [0,1]} |f(x_n)| + \sup_{x \in [0,1]} |f(x)|$
¿Voy por el camino correcto con esto? ¿O me encuentro con una contradicción?
Gracias :)
