¿Cuáles son las ventajas de probar la divergencia de $\sum a_n^2/n$ en lugar de, por ejemplo $\sum a_n^2$ o incluso $\sum a_n$ ¿en sí mismo?

Question

Me confunde no la siguiente afirmación hecha en cierto libro, sino por qué se hizo :

Si $\sum a_n^2/n$ diverge, entonces $\sum a_n$ diverge, donde $a_n>0$ .

Esto es obvio, porque si $\sum a_n$ converge ( $a_n>0$ ), entonces $a_n\to 0$ y partiendo de algún número $n>N$ tenemos $a_n^2<a_n$ y por lo tanto $\sum a_n^2$ converge, y definitivamente $\sum a_n^2/n$ converge. Por lo tanto, la divergencia de $\sum a_n^2/n$ es una afirmación mucho más fuerte y restrictiva que la divergencia de $\sum a_n$ .

Ahora, planean utilizar la divergencia de $\sum a_n$ para comprobar algunas afirmaciones.

Pregunta: ¿No es bastante fácil comprobar si $\sum a_n$ ( $a_n>0$ ) diverge, directamente sin recurrir a la consideración de $\sum a_n^2/n$ ? ¿Cuáles son las ventajas de utilizar $\sum a_n^2/n$ en lugar de, por ejemplo $\sum a_n^2$ o incluso $\sum a_n$ ¿en sí mismo?

¿Me estoy perdiendo algo simple y obvio aquí?

Answer 1

Puede ser que $a_n^2/n$ parece mucho más fácil que $a_n$ . Pero, de hecho, esta afirmación no parece ser muy útil.

Answer 2

Una pista:

Si $a_n\not\rightarrow0$ no hay nada que demostrar, ya que la afirmación es obvia.

Si $a_n\rightarrow0$ entonces $a_n\geq\frac{a^2_n}{n}$ para todos $n$ suficientemente grande. divergencia de $\sum_n\frac{a^2_n}{n}$ implica entonces la divergencia de $\sum_na_n$ mediante una prueba de comparación.

En cuanto a la utilidad de esta afirmación, podría ser que la serie $\sum_n\frac{a_n^2}{n}$ es más fácil de analizar que $\sum_na_n$ .

Este es un ejemplo bastante artificial:

Considere $\sum_k\frac{1}{\sqrt{\log k}}$ . Es más fácil utilizar la prueba integral en la serie $\sum_k\frac{1}{k}\frac{1}{\log k}$ y comprobar que diverge, y por tanto la primera serie diverge. De nuevo, esto es sólo un ejemplo. Puede haber otros mucho más interesantes.