$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} =e$

Question

No sé cómo demostrarlo $$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} =e.$$ ¿Existen otros límites agradables diferentes (no triviales) que den $e$ aparte de esto y de lo siguiente $$\sum_{k = 0}^\infty \frac{1}{k!} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = e\;?$$

Answer 1

Hay tantas representaciones de $e$ como se puede desear en Wikipedia . $$e=\sum_1^{\infty}{k^7\over877k!}$$ $$e=\lim_{n\to\infty}n^{\pi(n)/n}$$ donde $\pi(n)$ es el número de primos hasta $n$ . Muchos, muchos más.

Answer 2

En la serie para $$e^n=\sum_{k=0}^\infty \frac{n^k}{k!},$$ el $n$ El mayor de los sumandos (siempre positivos) es $\frac{n^n}{n!}$ . Por otra parte, todos los sumandos pueden ser estimados como $$ \frac{n^k}{k!}\le \frac{n^n}{n!}$$ y sobre todo los con $k\ge 2n$ se puede estimar $$ \frac{n^k}{k!}<\frac{n^{k}}{(2n)^{k-2n}\cdot n^{n}\cdot n!}=\frac{n^{n}}{n!}\cdot \frac1{2^{k-2n}}$$ y así encontramos $$\begin{align}\frac{n^n}{n!}<e^n&=\sum_{k=0}^{2n}\frac{n^k}{k!}+ \sum_{k=2n}^\infty \frac{n^k}{k!}\\&<(2n+1)\cdot\frac{n^n}{n!}+ \frac{n^n}{n!}\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\\&=(2n+3)\cdot\frac{n^n}{n!}.\end{align}$$ Tomando $n$ raíces encontramos $$ \frac n{\sqrt[n]{n!}}\le e\le \sqrt[n]{2n+3}\cdot\frac n{\sqrt[n]{n!}}.$$ Porque $\sqrt[n]{2n+3}\to 1$ como $n\to \infty$ obtenemos $$\lim_{n\to\infty}\frac n{\sqrt[n]{n!}}=e$$ de apretar.

Answer 3

Utilizaré el criterio de Cauchy-D'Alembert

$$\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} =e$$

se puede escribir el límite como $$\sqrt[n]{\frac{n^{n}}{n!}}.$$

Que sea $\displaystyle x_{n}=\frac{n^{n}}{n!}.$

Ahora podemos hacer $$\frac{x_{n+1}}{x_{n}}=\frac{\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)}{n! \cdot (n+1)}}{\frac{n^n}{n!}}=\frac{(n+1)^{n}\cdot (n+1)}{n! \cdot (n+1)}\cdot \frac{n!}{n^{n}}=\frac{(n+1)^{n}}{n^n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \to e. $$

Así que $\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}} =e.$

Answer 4

Desde $$ \ln \left( \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\right)=\ln n-\frac{\ln n!}{n} $$ todo lo que necesitas es la fórmula débil de Stirling: $$ \ln n!=n\ln n -n +O(\ln n). $$ Por comparación con la integral de la función no decreciente $\ln t$ : $$ \int_1^n\ln tdt\leq \ln n! =\sum_{k=2}^n \ln k\leq \int_2^{n+1}\ln t dt. $$ Recordemos que $\int \ln tdt =t\ln t -t +C$ y calcular la lhs y la rhs.

La fórmula débil de Stirling se deduce fácilmente.

Answer 5

Utilice La aproximación de Stirling

$$\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}\cong\frac{n}{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi }\,n^{n+1/2}e^{-n}}}=\frac{1}{(2\pi)^{1/2n}}\frac{e}{n^{1/2n}}\xrightarrow[n\to\infty]{}1\cdot\frac{e}{1}=e$$