¿Cómo puedo comprobar si una función es siempre $\ge 0$ para todos los valores de su parámetro $\ge 0$ ?

Question

Digamos que tengo una función con coeficientes y potencias arbitrarias, algo así como $f(x) = 5x^2 - 7x^3 + x^4$ .

¿Cómo puedo comprobar si esta función es siempre $\ge 0\ \forall x \ge 0$ ? El procedimiento es algo que voy a codificar en Python.

Answer 1

Encontrar las raíces, especialmente con polinomios pero más ampliamente con funciones continuas, le permitirá tener sólo unos pocos casos para comprobar (básicamente $n + 1$ , $n$ siendo el número de raíces). Para ello puedes utilizar, por ejemplo, el método de Newton.

Por ejemplo, aquí puedes factorizar tu polinomio con $x^2$ ( $0$ es una raíz "doble"), y tienes $2$ otras raíces que permiten determinar si este polinomio es positivo o no con sólo 3 "si".

Esto se puede acortar aún más porque sólo se necesitan raíces positivas, y para un polinomio se puede tener el signo en $0^+$ y $+\infty$ aún más fácilmente (ya que es el signo del coeficiente de grado más bajo y más alto respectivamente).

Answer 2

Puedes probar con un punto arbitrario para ver si la función es alguna vez positiva. Si lo es, entonces intenta resolver $f(x) = 0$ para ver si su función cruza alguna vez el eje x (lo que significa que podría ser negativa en esa zona). Los algoritmos que resuelven este tipo de ecuaciones se denominan técnicas de "búsqueda de raíces". Creo que para un polinomio arbitrario la tarea es bastante difícil.

Answer 3

De forma manual, se establecería la desigualdad $f(x) \ge 0$ y trataría de resolver para $x$ . Para polinomios arbitrarios $P(x)$ esto no es posible. Así que habría que recurrir a métodos numéricos.

Se comienza con $P(0)$ y si ese es positivo se mantendrá positivo hasta que llegue a una raíz, por lo tanto un valor de argumento $x_1$ con $P(x_1) = 0$ . Desde $x_1$ en usted necesita comprobar, si $P$ continúa con valores negativos.

Para los polinomios, el teorema fundamental del álgebra dice que un polinomio (no constante) de mayor potencia $n$ tiene $n$ raíces complejas (una raíz puede aparecer varias veces, como $x=0$ en su ejemplo dos veces), y así $n$ o menos raíces reales. Puedes intentar determinar estas raíces una por una. Así que el procedimiento es finito.