Análisis dimensional

Question

¿Alguien puede explicarme cómo hacer este tipo de preguntas? Tengo problemas para entenderlo. Gracias.

Se observa que una burbuja de jabón esférica sufre oscilaciones cuando se deforma ligeramente. Suponiendo que la frecuencia de estas oscilaciones es función de la tensión superficial S de la pompa de jabón el tamaño de la burbuja de jabón dado por el radio r de la burbuja esférica original y la densidad del jabón, digamos p. Utiliza el análisis dimensional para construir una posible dependencia de f en función de S, r y p.

Una pompa de jabón esférica de 1 cm de radio oscila a 1 Hz. ¿Cuál sería la frecuencia prevista* de oscilación de una pompa de jabón de radio 2cm?

Answer 1

El análisis dimensional dice que hay que ignorar las variables que se tienen y manipular lo que se tiene en términos de dimensiones. Por ejemplo, que cualquier medida de $mass=M$ que cualquier medida de $length=L$ que cualquier medida de $time=T$ . $Force=F=MLT^-2$ .

Entonces la tensión superficial es $\frac{MT^2}{L}$ . El radio es simple, es L mientras que la densidad es la masa dividida por el área. El área en este caso es $\pi*L^2$ y la masa $M$ por lo que la densidad es $\frac{M}{\pi L^2}$ .

La frecuencia es el período, o $\frac{1}{T}$ ¿correcto? Entonces, simplemente hay que intentar equiparar ambas partes.

Así que, en su caso, $Frequency = f(S, r, p)$ . Bueno, $\frac{1}{T} = \sqrt{\frac{L}{MT^2}}*\sqrt{\frac{M}{\pi L^2}} * \sqrt{L} = \sqrt{\frac{L^2M}{\pi L^2T^2M}}$ .

Espero que puedas ver que estas expresiones son equivalentes excepto por una constante $\pi$ . Las constantes no tienen dimensión, así que no importan. Sin embargo, también puedes ver que tenemos tres expresiones que ya hemos definido, como tal, $F = \sqrt{S*r*p}$ . Sabemos que esto es cierto porque las unidades funcionan como se espera y puedes comprobarlo basándote en que los valores son los esperados.