Demostrar que un grupo de orden 6 contiene un elemento de orden 2 y de orden 3. (Sin Cauchy)

Question

Demostrar que un grupo a no abeliano de orden 6 es isomorfo a $S_3$ . Demostrar que todo grupo abeliano de orden 6 es isomorfo a $Z/{6Z}$ . He aquí algunas pistas: empiece por demostrar que cada grupo $G$ de orden 6 debe tener un elemento $x$ de orden 2 y un elemento $y$ de orden 3. Esto, de hecho, se deduce de algunos teoremas generales pero quiero que argumentes directamente usando sólo lo que hemos cubierto en clase. (Un problema típico aquí es por qué no pueden tener orden 3 todos los elementos distintos de 1. Si este es el caso, demuestre que hay dos grupos cíclicos $K_1,K_2$ de $G$ de orden 3, tal que $K_1 \cap K_2 = \left\{1\right\}$ . Calcular $|K_1K_2|$ .) Habiendo demostrado que, si $G$ es abeliano muestran que implica la existencia de un elemento de orden 6. En el caso no abeliano demuestre que debemos tener $xyx^{-1} = y^2$ y que cada elemento de $G$ es de la forma $x^ay^b$ , $a = 0, 1, b = 0, 1, 2$ . Demuestre que el mapa $x\to (1 2)$ , $y\to (1 2 3)$ se extiende a un isomorfismo.

Hola. Estoy intentando demostrar la pista. Pero no puedo concluir que el grupo tiene un elemento de orden 2 y otro de orden 3. Tengo lo siguiente:

Mi solución . Supongamos que $\forall g\in G,\ g\neq e,\ |g|=3$ . Sea $g,h\in G,\ g\neq h$ . Entonces $\langle g\rangle\cap \langle h\rangle=\left\{e\right\}$ . De hecho, $\langle g\rangle=\left\{e,g,g^2\right\} and \langle h\rangle=\left\{e,h,h^2\right\}$ . Si $g=h^2\Rightarrow gh=h^3=e\Rightarrow h=g^{-1}\wedge h^2=g^{-2}\Rightarrow \langle h\rangle=\left\{e,g^{-1},g^{-2}\right\}=\left\{e,g,g^2\right\}$ .

En general, si $G=\left\{e,g_1,g_2,g_3,g_4,g_5\right\}$ entonces $\langle g_i\rangle=\langle g_1\rangle,\ i=2,3,4,5$ .

Ahora, $G=\bigcup_{i=1}^{5} \langle g_i\rangle=\left\{e,g_1^2,g_1^2\right\}$ una contradicción con $|G|=6$ .

Ahora, $|\langle g\rangle \langle h\rangle|=9$ una contradicción con $|G|=6.$

Por lo tanto, existe $g\in G,\ g\neq e$ tal que $|g|\in \left\{2,6\right\}$ .

Ahora bien, ¿acaso todos los elementos diferentes de 1 no pueden tener orden 2. Supongamos que para todo $g\in G,g\neq e,\ |g|=2 \Rightarrow G$ abeliano $\Rightarrow S=\left\{e,g,h,gh\right\}$ subgrupo de $G$ pero $|S|\not\mid |G|$ una contradicción.

Por lo tanto, existe $g\in G,\ g\neq e,\ |g|\in\left\{3,6\right\}$ .

Por qué existe $x,y\in G$ tal que $|x|=2, |y|=3$ ?

Actualización 1 . Tengo pruebas de que esto existe $x,y\in G$ tal que $|x|\in \left\{2,6\right\}$ y $|y|\in\left\{3,6\right\}$ .

Si $|x|=6$ entonces $|x^3|=2$ y $|x^2|=3$ . Por lo tanto, $x^3, x^2$ son elementos en $G$ de orden 2 y 3 respectivamente.

Si $|x|=2$ entonces x es el elemento de orden 2. Si $|y|=6$ de la misma manera. Si $|y|=3$ entonces $x,y$ son elementos de orden 2 y 3.

Ahora bien, si $G$ abeliano $|(xy)|=6$ entonces $G\simeq Z_6$ . Si $G$ no abeliana. Cómo se demuestra que $xyx^{-1}=y^2$ ?

Actualización 2 . Sea $G$ no aebeliana. $ [G:\langle y\rangle ]=2$ entonces $\langle y\rangle$ normal en $G$ entonces $x\langle y\rangle=\langle y\rangle$ . por lo tanto $xyx^{-1}\in \left\{e,y,y^2\right\}$ entonces $xyx^{-1}=y^2$ (otros casos son contradictorios)

Answer 1

Para demostrar que hay elementos de orden 2 y 3, veamos primero la posibilidad de órdenes de elementos no identitarios que son 2,3,6.

Si tienes un elemento de orden 6, has terminado (¿por qué?).

En caso contrario, supongamos que todos los elementos( $\neq 1$ ) son de orden 2 entonces $G$ debe ser abeliano. En ese caso $G$ es un $\mathbb Z/2$ espacio vectorial de dimensión finita y, por tanto, de cardinalidad $2^k$ para algún k>0, contradicción.

Por lo tanto, si su grupo tiene un elemento de orden 2 debe tener un elemento de orden 3.

Ahora supongamos que tiene todos los elementos no identitarios de orden 3 Entonces escriba los elementos, $\{1, a, a^2\}$ a continuación, elija algún elemento $b$ fuera de esta colección argumentan que $\{b, b^2\}$ es disjunta de la colección anterior. Ahora todavía habrá otro elemento no identitario digamos $c$ en G. Demuestre que, $c^2 \notin \{1, a, a^2, b, b^2,c\}$ . De ahí una contradicción.

Answer 2

Puedes usar el teorema de Sylow. Según $6 = 2*3$ y que todo grupo de orden primo es un grupo cíclico, podemos demostrar fácilmente la pregunta de su título.