Forma sencilla de calcular la integral $\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n + 1)\pi}}\sin(x^2)x \mathrm dx= 1$

Question

¿Existe una forma sencilla de demostrar que $$\int_{\sqrt{n\pi}}^{\sqrt{(n + 1)\pi}}\sin(x^2)x \mathrm dx= 1$$ si $n$ es incluso . No sabemos cómo integrar un múltiplo de funciones ( $\int{f(x)g(x)}$ ), pero saber integrar $\sin(x)$ y $\cos(x)$ . ¿Hay algún juego con las identidades trigonométricas para demostrarlo?

Answer 1

Como se sugiere en los comentarios, $$x\, dx = \frac{1}{2} d(x^2).$$ Por lo tanto, $$\int \sin (x^2) x \, dx = \frac{1}{2}\int \sin (x^2) \, d(x^2) = -\frac{1}{2}\cos (x^2) +C.$$ Por lo tanto, $$\int_{(\sqrt{n \pi},\sqrt{(n+1)\pi})} \sin (x^2) x \, dx = -\frac{1}{2} \left( \cos ((n+1)\pi) - \cos (n\pi) \right),$$ y concluyes fácilmente porque $n$ está en paz.

Answer 2

Como ya comentó , toma $t = x ^ 2 \implies \frac{1}{2} dt = x dx$ . Por lo tanto, los límites cambian a $n \pi$ à $(n + 1) \pi$ . Y la integral se convierte en:

$$\int_{n \pi}^{(n + 1) \pi}{\sin{(t)} \frac{1}{2} dt} = {-\dfrac{1}{2} \left[ \cos{(t)}\right]_{n \pi}^{(n + 1) \pi}} = \dfrac{-1}{2} \left( (-1)^{2k + 1} - (-1)^{2k} \right) \tag{ Take $ n = 2k $}$$

A partir de ahí, se obtiene la integración para ser $1$ .