Diferenciar entre espacio de columnas, dimensión del espacio de columnas y base del espacio de columnas.

Question

Digamos que si hay una matriz A:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

¿Cuál es el espacio de la columna de A? : Estoy confundido en cuanto a la exclusión de las columnas NO pivotantes.

¿Cuál es la dimensión del espacio de la columna? : ¿La dimensión del espacio de columnas o la dimensión de la base del espacio de columnas? ¿Puede ser 4 o 3?

¿Cuál es la base del espacio de las columnas? Esto es sólo las columnas pivotantes. ¿Es este el llamado $\operatorname{Col}A$ ?

Answer 1

El espacio de columnas no es una lista de vectores, así que no está claro a qué te refieres cuando preguntas si debes excluir las columnas no pivotantes. El espacio de columnas es la extensión lineal de las columnas. Cada columna (incluyendo las columnas no pivotantes) está contenida en este espacio.

Lo que puedes estar confundiendo es el espacio de la columna frente a un base para el espacio de la columna. Una base es, efectivamente, una lista de columnas y para una matriz reducida como la que tú tienes una base para el espacio de columnas viene dada por tomar exactamente las columnas pivote (como has dicho). Hay varias notaciones para esto, $\operatorname{Col}A$ es perfectamente aceptable, pero no te sorprendas si ves otras.

En cuanto a la dimensión del espacio de la columna, es $3$ que es el número de elementos de una base, es decir, el número de columnas pivotantes.

Answer 2

La dimensión del espacio de columnas de esta matriz no puede ser 4, porque dimensión del espacio de columnas=dimensión del espacio de filas, y el número de filas es 3, ¡entonces el número de filas linealmente independientes es menor o igual a 3!