Medibilidad del operador de superposición con un espacio de Banach no separable

Question

Dejemos que $f\colon I \times X \to \mathbb{R}$ sea un mapa donde $I \subset \mathbb{R}$ es un intervalo, $X$ es un espacio de Banach (posiblemente no separable) y tenemos $$t \mapsto f(t,x) \text{ is measurable}$$ $$x \mapsto f(t,x) \text{ is continuous}.$$

Mi pregunta es: dado $w \in L^1(0,T;X)$ es $t \mapsto f(t,w(t))$ ¿se puede medir o no?

Cuando $X$ es un espacio separable, es cierto. Véase este documento . He visto también afirmaciones de que esto se mantiene cuando $X$ no es separable, pero todas esas afirmaciones tienen "pruebas" citadas en el documento enlazado anteriormente, que sólo trata el caso separable. Entonces, ¿se requiere la separabilidad o no?

Answer 1

[Copiando aquí el contenido de los comentarios, para que la pregunta no aparezca como no contestada]

Si por $L^1(0,T;X)$ te refieres (como es estándar) al espacio de las funciones medibles de Bochner, entonces por definición cualquier $w \in L^1(0,T;X)$ toma valores en un subespacio separable de $X$ por lo que el caso general se deduce del caso separable.

Esto se puede comprobar directamente: si $w$ es una función medible de Bochner, es un límite en casi todas partes de una secuencia de funciones simples (=medibles que toman un número finito de valores diferentes), por lo que (por la segunda hipótesis) $t \mapsto f(t,w(t))$ es un límite casi absoluto de una secuencia de funciones de la misma forma pero para $w$ simple, y (por la primera hipótesis) para las funciones simples $t\mapsto f(t,w(t))$ es medible.