Dejemos que $R$ sea un anillo noetheriano derecho. Entonces toda envolvente inyectiva es una suma directa de módulos indecomponibles.

Question

Me quedé atascado tratando de entender la prueba de este lema.

Todos los módulos que estamos considerando son módulos correctos sobre $R$ , donde $R$ es derecho noeteriano. Por módulo indecomponible, me refiero a un módulo que no puede expresarse como suma directa interna de dos módulos no triviales.

1

La afirmación es cierta para la envolvente inyectiva de un módulo cíclico $mR$ :

$mR \simeq \frac{R}{ker \varphi}$ para $\varphi: r \mapsto mr$ y los factores de $R_R$ son noeterianos, por lo que $mR$ es noetheriano.

Si no hubiera una forma de describir $E(mR)$ (la envoltura inyectiva de $mR$ ) como una suma directa de módulos indecomponibles, podríamos definir un módulo que es un producto directo infinito de módulos no triviales $F_i$ , tal que esta suma directa interna es también un submódulo de $E(mR)$ . Utilizando el hecho de que $mR$ es esencial en $E(mR)$ obtenemos que la interesección $mR \cap F_i$ es no trivial, por lo que obtenemos una contradicción con $mR$ siendo noetheriano.

Por lo tanto, $E(mR)$ es una suma directa de módulos indecomponibles.

2

Obsérvese que para cualquier submódulo $N$ de $E(M)$ la inyección correspondiente induce una inyección de $E(N)$ a $E(M)$ . $E(N)$ inyectiva, por lo que es un sumando directo de $E(M)$ .

3

Aquí es donde me quedé atascado -

Definir: $I = \{ F \subseteq E(M) | F$ es un sumando directo de $E(M)$ , $F$ es una suma directa de módulos indecomponibles $\}$

$I$ contiene el módulo de conjunto vacío, por lo que no está vacío. Utilizaremos el lema de Zorn para demostrar que este conjunto tiene un elemento maximal. Si tomamos una cadena no decreciente $F_\alpha$ la unión puede ser descrita como una suma directa de módulos inyectivos - esto es porque sabemos que $F_2 = F_1 \oplus A_1$ utilizando la inyectividad (un sumando directo de $E(M)$ es inyectiva) - por lo que obtenemos que $F_n = F_1 \oplus \bigoplus_{i<n} A_i $ .

¿Cómo demostramos que la unión es también una suma directa de módulos indecomponibles?

¿Cómo continuaría la prueba después de eso?

Creo que me falta algo. Tal vez podría tratar de mostrar que si tengo $A \oplus B = C$ para $C$ un módulo que puede expresarse como una suma directa de módulos indecomponibles, entonces $A$ y $B$ también puede expresarse como una suma directa de módulos indecomponibles.

Tampoco estoy seguro de si es posible que exista una forma de expresar un módulo como una suma directa de módulos indecomponibles y que, sin embargo, exista una expresión del mismo mediante módulos que no sean indecomponibles y que "siempre" puedan descomponerse más.

No hace falta decir que yo también estoy confundido sobre este tema en general, y se agradecerían los consejos sobre qué ejercicios serían útiles para hacer.

Answer 1

Esta es una forma que se me ocurrió para probar 3 :

En lugar de limitarse a mirar el conjunto $I$ como el conjunto definido en la pregunta (un subconjunto de $\mathscr P(E(M))$ , miramos a $J = \{ A \subseteq \mathscr P(E(M))$ | $\sum_{a \in A} a$ es un sumando directo de $E(M)$ todos los elementos de $A$ son módulos indecomponibles, y $ a \in A$ son linealmente independientes $ \}$ , $J$ siendo un subconjunto no vacío de $\mathscr P (\mathscr P(E(M)))$ (en contiene el conjunto vacío).

Porque $a \in A$ son linealmente independientes (en el sentido de que una suma de elementos de $\sum_{a \in A} a$ es $0$ si todos los elementos son $0$ ), tiene sentido considerar $\sum_{a \in A} a$ para ser un producto directo interno de los módulos de $A$ y denotarlo como $\oplus_{a \in A} a$ en su lugar.

Utilizamos el lema de Zorn sobre $J$ con la ordenación parcial de $J$ siendo la inducida por la inclusión.

Considere $A = \cup A_i$ , $A_i \in J$ siendo un sistema no decreciente- trataremos de demostrar que $A \in J$ . Cualquier $a \in A$ es en algunos $A_i$ y, por tanto, es un módulo indecomponible. Nos gustaría demostrar que $\sum_{a \in A} a$ es una suma directa - toma una cantidad finita de elementos $v_1,..,v_n$ de $\sum_{a \in A} a$ , de tal manera que $v_1 + .. +v_n=0$ y todos están en distintos $a \in A$ módulos. Están necesariamente contenidos en algunos $\sum_{a \in A_i} a$ con $a \in A_i$ son módulos linealmente independientes, por lo que cada $v_i$ es $0$ y así $a \in A$ son también módulos linealmente independientes.

Cualquier $a \in A$ está contenida alguna $A_i$ por lo que es un sumando directo de $\sum_{a \in A_i} a$ que es un sumando directo de $E(M)$ que es inyectiva - por lo tanto, cualquier $a \in A$ es un sumando directo de $E(M)$ , por lo que también es inyectiva. Debido a esto, $\sum_{a \in A} a$ es una suma directa de módulos inyectivos, que es inyectiva, porque todos son módulos sobre un anillo noetheriano $R$ .

Por lo tanto, se satisfacen las condiciones del lema de Zorn, y existe un elemento máximo en $J$ Llamémoslo $A$ y llamemos a $B=\sum_{a \in A} a = \oplus_{a \in A} a$ .

$B$ es un sumando directo de $E(M)$ Así que $E(M)=B\oplus G$ para algunos $G$ . Sea $m \in G\cap M$ , $G$ también es inyectiva, por lo que podemos demostrar que $E(mR) \subseteq G$ y por 1 sabemos que $E(mR)$ puede escribirse como una suma directa de módulos indecomponibles. Pero por la maximalidad, $B=B \oplus E(mR)$ Por lo tanto $E(mR)=0$ Así que $m=0$ y $G \cap M = 0$ . Porque $M$ es esencial en $E(M)$ se deduce que $G =0$ y así $B=E(M)$ como queríamos mostrar.

También, una respuesta a la pequeña pregunta que escribí al final - sí, hay un módulo que puede ser expresado como una suma directa de módulos indecomponibles, pero tal que puedo seguir descomponiéndolo (no trivialmente) infinitamente - tome por ejemplo $\mathbb{R}^{(\omega)}$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ - se trata de una suma directa de $\mathbb{R}$ esta expresión es una suma directa de módulos indecomponibles, pero también puedo expresarla como $\mathbb{R}^{(\omega)}= \mathbb{R} \oplus M_1 = \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} \oplus M_2 $ etc. - lo que me da una "descomposición infinita".