Estoy aprendiendo la integración repetida con el método Tabular. Veo que los libros de texto o las páginas web demuestran el método, pero la mayoría de las veces no explican cada paso o simplemente se saltan con (...). Intento probarlo yo mismo repasando cada paso. No estoy seguro de si mis manipulaciones del diferencial " $dx$ " son legítimas, y en general cómo justificarlas.
Empecé con (uv)'=u'v+vu'
$\frac {d(uv)} {dx} = \frac {du} {dx}v+ u\frac {dv} {dx}$ $\to$ (P1: ¿Puedo simplemente multiplicar ambos lados por $dx$ ?)
$d(uv)= vdu+udv$
$\int uv =\int udv+\int vdu$
$\int udv=\int uv -\int vdu$ $ $ (I)
Set $\frac {du} {dx}=u^1$ , $\frac {dv^{-1}}{dx}=v$ $\to$ $du= u^1dx$ , $v=\frac {dv^{(-1)}} {dx}$
$\int vdu= \int u^1dx$$ \frac {dv^(-1)}} {dx}$ $\to$ $\int u^1dv^{-1}$ (P2: ¿Puedo cancelar directamente $dx$ tanto del numerador como del denominador).
$\int udv= uv -\int u^1dv^{-1} $
Repetir pasos similares $\to$
$\int udv=$$ \sum_{i=0}^{n-1} (-1)^iu^i v^{-i} +\int (-1)^nu^n dv^{-n}$ $ $
$\int udv=$$ \sum_{i=0}^{n} (-1)^iu^i v^{-i} +\int (-1)^{n+1}u^{n+1} dv^{-(n+1)}$ $ $ (II)
que equivale a la expresión común
$\int udv=$$ \sum_{i=0}^{n} (-1)^iu^i v^{-i} +\int (-1)^{n+1}u^{n+1} v^{-(n)}dx$ $ $ (II')
