¿Cuál es la distribución más general para la que E[1/x] = 1/E[x]?

Question

¿Cuál es la distribución más general para la que el valor esperado del inverso multiplicativo es igual al inverso multiplicativo del valor esperado?

Motivación: Me dedico a modelar dinámicas en grafos y he encontrado un problema que es fácilmente solucionable en los casos en los que la distribución de grados de los vértices es una distribución en la que $E[1/k] = 1/E[k]$ . ( $k_i$ es el grado del $i$ vértice) A partir de esta solución puedo obtener una idea de cómo unificar varios modelos.

Así que, en particular Estoy buscando una distribución que consiste en enteros finitos no negativos . Pero también me interesan las soluciones continuas. Distribuciones en las que $E[1/k^n]=1/E[k^n]$ también puede ayudar a unificar los modelos.

Lo que sé hasta ahora que $k_i=1$ es una solución particular. En el caso continuo toda función donde $f(x)=f(1/x)$ y $E[x]=1$ es una solución. Sé lo que son las funciones generadoras de impulso y parecen una buena dirección para probar, pero he fracasado hasta ahora.

¿Cuál es la forma más general de esta distribución? ¿Tiene un nombre? Parece algo trivial, como una distribución "famosa", pero no la encuentro.

Answer 1

Por La desigualdad de Jensen aplicada a la función convexa $f(x) = x^{-1}$ en $(0,\infty)$ ,

$$ \frac{1}{\mathbb{E}[X]} < \mathbb{E} \left[ \frac{1}{X} \right] $$

para cualquier variable aleatoria no negativa no constante $X$ . (Véase también este para una discusión de los casos de igualdad de la desigualdad de Jensen). Así, la variable aleatoria constante es la única variable aleatoria de este tipo.