Máximos y mínimos locales de $f(x,y,z)=(y+z)^2+(x+z)^2+xyz$

Question

He visto este problema de examen pero tengo problemas para determinar los máximos y mínimos locales de esta función.

Esto es lo que hice.

He encontrado $f_x=2x+2z+yz \\ f_y=2y+2z+xz \\ f_z=4z+2y+2x+xy$

Un punto estacionario que sé que es $A(0,0,0)$ pero no puedo encontrar los otros. Pensé en usar el criterio de Sylvester.

$\Delta _1=f_{xx}=2 \gt 0 \\$

$\Delta_2= \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}\\\end{vmatrix} $

$ \Delta _3= \begin{vmatrix} f_{xx} & f_{xy} & f_{xz} \\ f_{yx} & f_{yy} & f_{yz} \\ f_{zx} & f_{yz} & f_{zz} \\ \end{vmatrix}$

Para el punto, $A$ Me sale $\Delta _2(A)=4 \gt 0$ y $\Delta _3(A)=0$ . Aquí es donde me he atascado y no sé qué debo hacer. ¿Puede alguien ayudarme a encontrar los otros puntos estacionarios y ayudarme a entender qué hacer cuando tenga el caso? $\Delta _3=0$ ?

Answer 1

$f(x,x,-x)=-x^3$ y $f(0,0,0)=0$ . Esto muestra: en cada vecindad de $(0,0,0)$ la función $f$ toma valores $<0$ y valores $>0$ .

Consecuencia: en $(0,0,0)$ la función $f$ no tiene un extremo local.

Answer 2

Todos estos candidatos a máximos/mínimos se pueden encontrar resolviendo $$f_x=f_y=f_z=0$$ Desde $f_x=f_y=0$ obtenemos $$2(x-y)=(x-y)z\\2x+2z+yz=0$$ entonces $$z=2$$ lo que lleva a $$x+y+2=0\\2x+2y+xy+8=0\\\implies xy=-4$$ o finalmente $$(x_1,y_1,z_1)=(\sqrt 5-1,-\sqrt 5-1,2)\\(x_2,y_2,z_2)=(-\sqrt 5-1,\sqrt 5-1,2)$$ Los demás candidatos se encuentran en $$x=y\\2x+2z+xz=0\\x^2+4x+4z=0$$$$x^2=4x$$ por lo tanto, los candidatos son $$(x_3,y_3,z_3)=(0,0,0)\\(x_4,y_4,z_4)=\left(-6,-6,-3\right)$$ investigando los valores propios de $H$ obtenemos $(x_1,y_1,z_1)$ , $(x_2,y_2,z_2)$ y $(x_4,y_4,z_4)$ son puntos de silla de montar y $H(0,0,0)\succeq 0$ que no se puede decidir ya que el condición suficiente de segundo orden (SOSC) no se cumple.

Answer 3

La condición de segundo orden $\Delta_3=0$ implica que la prueba no es concluyente y hay que utilizar otras técnicas para clasificar el punto estacionario.

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Un ejemplo sencillo con $y=x^3$ : $$y'=3x^2=0\Rightarrow x=0 \quad \text{(critical point)}\\ y''(0)=6x|_{x=0}=0 \quad \text{(inconclusive)}$$ Un método consiste en observar la pequeña vecindad del punto crítico $x=0$ : $$f(0+\epsilon)=(0+\epsilon)^3=\epsilon^3>0\\ f(0-\epsilon)=(0-\epsilon)^3=-\epsilon^3<0$$ Demuestra que $f(0)=0^3=0$ no es un máximo ni un mínimo local, sino un punto de inflexión.

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Del mismo modo, dado $f(x,y,z)=(y+z)^2+(x+z)^2+xyz$ Consideremos la pequeña vecindad del punto crítico $(x,y,z)=(0,0,0)$ : $$\begin{align}f(0+\epsilon,0+\epsilon,0+\epsilon)&=(2\epsilon)^2+(2\epsilon)^2+\epsilon^3>0\\ f(0+\epsilon,0+\epsilon,0-\epsilon)&=(0+\epsilon+0-\epsilon)^2+(0+\epsilon+0-\epsilon)^2+(0+\epsilon)(0+\epsilon)(0-\epsilon)=-\epsilon^3<0.\end{align}$$ Demuestra que $f(0,0,0)=0$ no es un máximo ni un mínimo local, sino un punto de silla.