Propiedad $d(x_n,x_{n+1})\le 10\cdot2^{-n}$ en un espacio métrico completo

Question

Dejemos que $(X,d)$ sea un espacio métrico completo y $(x_n)$ una secuencia en $X$ tal que $$d(x_n,x_{n+1})\le 10\cdot2^{-n}, \text{ for all $ n $.}$$ Demuestre que la secuencia converge a alguna $a \in X$ . Demostrar que $d(x_5,a) < 1.$

Desde $X$ es un espacio métrico completo toda secuencia de Cauchy en $X$ convergerán. Si $(x_n)$ es Cauchy tengo que $$d(x_n,x_m)< \varepsilon, \text{ for $ n,m \ge K \Nen \mathbb{N}. $}$$

Ahora bien, si arreglo $m = n+1$ entonces $$d(x_n,x_{n+1}) < \varepsilon, \text{ for $ n,n+1 \Nde K $.}$$

Y como es Cauchy debe existir $a$ tal que la secuencia converge a ella? Puede que me equivoque completamente al suponer que $(x_n)$ sería Cauchy ya que no se ha dicho, pero no estoy seguro de qué otras propiedades me daría la completitud? ¿Cómo debo enfocar desde aquí si esto es incluso en la dirección correcta para empezar?

Answer 1

No se puede arreglar $m=n+1$ en absoluto. Sólo hay que tener en cuenta que para $n < m$ por la desigualdad del triángulo sobre $m-n-1$ pasos:

$d(x_n, x_m) \le \sum_{i=0}^{m-n-1} d(x_{n+i}, x_{n+i+1})\le 10\sum_{i=0}^\infty \frac{1}{2^{n+i}} = 20\frac{1}{2^n}$ para que $(x_n)_n$ es Cauchy y por lo tanto converge a algún $a \in X$ .

La desigualdad anterior $d(x_n, x_m) \le 2\frac{1}{2^n}$ no depende de $m$ , por lo que dejar que $m \to \infty$ obtenemos $d(x_5,a) \le \frac{20}{32} <1$ .

Answer 2

Para demostrar que la secuencia $\{x_n\}$ es Cauchy, necesitamos demostrar que para cualquier $\epsilon > 0$ , $\exists N \in \mathbb{N}$ s. t. $n, m \geq N \implies d(x_n, x_m) < \epsilon$ .

Lo tenemos, $d(x_n,x_{n+1})<10.2^{-n}$

$\therefore$ con $m>n$ y por la aplicación repetida de la desigualdad del triángulo,

$d(x_n,d_m) \leq d(x_n,x_{n+1}) + d(x_{n+1},x_{n+2}) + \ldots d(x_{m-1},x_{m})$

$< 10.2^{-n}+10.2^{-(n+1)}+\ldots+10.2^{-(m-1)}+10.2^{-m} = 10.\frac{2^{-n}(1-(1/2)^{n-m})}{1-1/2} < 10.\frac{2^{-n}}{1/2}=\frac{5}{2^{n-2}} < \epsilon$

Por lo tanto, dado cualquier $\epsilon > 0$ podemos elegir $N=\lceil2+\log_2{\frac{\epsilon}{5}}\rceil$ s.t, $n, m \geq N \implies d(x_n, x_m) < \epsilon$