Perelman tiene un ejemplo en variedades con conos tangentes no únicos en el infinito. El paper está aquí. Es una variedad completa con curvatura de Ricci positiva, crecimiento del volumen euclidiano, y decaimiento cuadrático de la curvatura. La métrica tiene la forma $ds^2=dt^2+A(t)^2 dx^2+B^2 (t) dy^2+C^2 (t) dz^2$, con una elección particular de $A,B,C$ como funciones de $t$ dadas en el paper enlazado arriba. Mientras que $Ric>0$ es más fácil de verificar, tengo dificultades para entender por qué los conos tangentes no son únicos. Mi pregunta es: ¿qué secciones transversales diferentes (me refiero al conjunto $\{r=1\}$ en los conos tangentes en el infinito) tienen si elegimos diferentes secuencias $r_i \rightarrow +\infty$ en $(M,\frac{1}{r_i^2}g, p)$ para obtener el cono tangente. Dado que diferentes conos tangentes deben tener el mismo ángulo de cono, esas secciones transversales deben tener la misma medida de Hausdorff. En este sentido me resulta más difícil imaginar por qué podrían ser diferentes. Cualquier ayuda será apreciada.
Respuesta
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Las esferas unitarias son isométricas a las esferas de Berger. Tienen el mismo volumen, pero no son isométricas.
