¿Cómo se mide la aceleración si sólo hay cambio en la dirección de la velocidad y no en la magnitud?

Question

La definición formal de aceleración es

Es la medida de la rapidez con la que cambia la velocidad con respecto al tiempo.

Ahora, cuando la magnitud de la velocidad cambia, la aceleración $$\vec{a} = \frac{d \vec{v}}{dt}$$ y su unidad es $m.s^{-2}$ .

Pero, ¿qué pasa con el caso en el que la velocidad sólo cambia su dirección manteniendo su magnitud constante? La definición puede ser entonces

La aceleración es la medida de la rapidez con que la velocidad cambia de dirección con respecto al tiempo.

¿Pero cómo puedo calcular la aceleración entonces? ¿Cuál debería ser la unidad entonces? Por favor, ayuda.

Answer 1

El cambio de velocidad se puede calcular mediante la sustracción de vectores. ( $d\vec{v} = \vec{v_f} - \vec{v_i}$ ).

Divide por el tiempo entre las dos velocidades para generar una aceleración. La dirección de la aceleración será la misma que la dirección del vector diferencia. La magnitud de la aceleración será la misma que la magnitud del vector diferencia dividida por el tiempo.

Ejemplo, en el momento $t=0$ segundos la velocidad está en el $x$ dirección, y en el momento $t=2$ segundos la velocidad está en la dirección y. En ambos momentos la velocidad es de 1 m/s: $$\vec{v(0)} = (1,0,0) ~\mathrm{m/s}$$ $$\vec{v(2)} = (0,1,0) ~\mathrm{m/s}$$ $$d\vec{v} = \vec{v(2)} - \vec{v(0)}$$ $$d\vec{v} = (-1,1,0) ~\mathrm{m/s}$$ $$dt = 2 - 0 = 2 ~\mathrm{s}$$ $$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (-\frac12,\frac12,0) ~\mathrm{m/s^2}$$

Answer 2

Pero ¿qué pasa con el caso en el que la velocidad sólo cambia su dirección manteniendo constante su magnitud?

La primera ecuación que das es una ecuación vectorial que, en este caso, significa que hay tres ecuaciones:

$$\vec a = \frac{d\vec v}{dt}\Rightarrow a_x = \frac{dv_x}{dt}; a_y = \frac{dv_y}{dt}; a_z = \frac{dv_z}{dt}$$

Si tenemos la restricción adicional de que la magnitud (al cuadrado) de la velocidad es constante

$$\frac{d}{dt} (v^2_x + v^2_y + v^2_z)= 0 = \frac{d}{dt}\vec v \cdot \vec v$$

De ello se desprende que

$$v_x a_x + v_y a_y + v_z a_z = 0 = \vec v \cdot \vec a$$

En otras palabras, no hay diferencia en el cálculo o la unidad de aceleración en el caso de que la velocidad sea constante.

Más bien, hay una restricción en los componentes de la aceleración: el vector de aceleración (que cambia en el tiempo) debe ser ortogonal al vector de velocidad (que cambia en el tiempo).

A destacar, en el caso general de la aceleración, ambos la magnitud y la dirección de la velocidad cambian con el tiempo.

Pero, incluso en el caso especial de que sólo la dirección de la velocidad cambie con el tiempo, la velocidad sigue cambiando con el tiempo Por lo tanto, la definición formal siempre es válida.

Answer 3

Dado que tanto la velocidad como la aceleración son vectores, es posible, como en el caso del movimiento circular, que la magnitud del vector velocidad permanezca constante pero que la dirección del vector cambie. Dado que la aceleración es la tasa de cambio del vector velocidad, la aceleración sería distinta de cero incluso si la magnitud del vector velocidad es constante, pero la dirección cambia. En concreto, para el movimiento circular este enlace muestra la derivación de la ecuación $a = v^2/r$ simplemente tomando la doble derivada del vector de posición $$\vec{r} = r.cos \omega .t .\hat{i} + rsin\omega .t .\hat{j}$$

Answer 4

Hay un pequeño problema con algunas de sus palabras. Medir y calcular una cantidad son dos tareas muy distintas: una es de carácter experimental y la otra se basa en el formalismo y la teoría matemática. Esto no quiere decir que estén totalmente separadas, pero vale la pena señalarlo desde un punto de vista pedagógico.

Fundamentalmente, la respuesta a su pregunta se basa en la noción de que los vectores cinemáticos, ya sean aceleraciones, velocidades, posiciones, etc., pueden resolverse en componentes que pueden medirse o calcularse independientemente de los demás componentes. La forma en que resolvemos estos vectores es con respecto a un base . La que más conocemos es la base cartesiana, y es esencialmente la $x,y,z$ ejes de coordenadas en $\mathbb{R}^3$ .

Así, podríamos tener un vector de velocidad dado en la siguiente forma,

$\vec{v} = v_x \hat{x} + v_y \hat{y} + v_z \hat{z}$ ,

donde $\hat{x},\hat{y},\hat{z}$ sólo representan la $x,y,z$ direcciones. Tenemos la velocidad definido por:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$ ,

y puede convencerse de que podemos cambiar un componente concreto de $\vec{v}$ sin cambiar el valor de la velocidad, $v$ .

Por lo tanto, la forma en que mediríamos o calcularíamos estas cantidades si tenemos una velocidad invariable pero una velocidad cambiante es simplemente medirlas o calcularlas independientemente de los otros vectores. Es exactamente el mismo tipo de problema que tu $2$ problemas de cinemática dimensional en los que se lanza una pelota por un precipicio y hay que calcular la velocidad inicial y final su análisis simplemente trata la $x$ y $y$ (horizontal y vertical) de forma independiente.

Espero que te sirva de ayuda.