¿Cómo encontrar la suma de una serie geométrica con un cociente común negativo?

Question

Tengo una serie geométrica con el primer término 8 y un cociente común de -3. El último término de esta secuencia es 52488. Necesito encontrar la suma hasta el n th plazo.

Mientras se calcula el término n para 52488 con la fórmula:

$u_n = u_1 * r^{n-1}$

lo que equivale a:

$8 * {-3}^{n-1} = 52488$

Debido a que la ración común es negativa, la aplicación de la $\log$ no devuelve valores reales.

$({n-1})\log{-3} = \log{52488}$

Lo siguiente no devuelve valores reales:

$n = \frac{\log{52488}}{\log -3} + 1$

¿Cómo puedo evitar este problema o cómo puedo enfocarlo desde una perspectiva diferente?

Se agradece toda la ayuda. Gracias.

Answer 1

El signo de la proporción común no debería suponer ninguna diferencia. Dejemos que $S_n = \sum_{i=0}^n q^k$ . Tenemos $$S_{n+1} = S_n + q^{n+1} = qS_n + 1$$ y así para $q\ne1$ , $$S_n = {q^{n+1}-1 \over q-1}.$$ Si el primer término difiere de $1$ , multiplicar $S_n$ por este valor inicial para obtener las sumas parciales de la serie.

Answer 2

Si sus condiciones son $8,-24,72,-216,\dots$ y desea sumar sobre estos términos, puede considerar los términos Impares y pares (con $8$ como primer término, etc.) como dos secuencias separadas. Entonces tiene $8 + 72 + 648 + \dots$ y $24 + 216 + 1938 + \dots$ como las dos secuencias, y la suma sobre su secuencia original es la diferencia entre las sumas sobre estas dos secuencias.

Suponiendo que sólo se necesita conocer el exponente $n$ en $(-3)^n\cdot 8 = 52488$ El enfoque simple es adivinar que hay un $n$ tal que $3^n\cdot 8 = 52488$ , dando $3^n=6561=81^2=3^8$ . Desde $8$ es par, tenemos $(-3)^8$ es positivo, como se requiere.