Distinción entre producto interior y producto exterior en notación matricial

Question

Como reciente trasladado de químico a científico de datos, me encuentro vadeando más multiplicación de matrices de lo que estoy acostumbrado. Ya hice algo de álgebra lineal, pero me cuesta identificar "en qué sentido" (es decir, producto interno o externo) va una determinada multiplicación de matrices.

Siento que hay algún tipo de convención con la multiplicación de vectores donde el vector $\mathbf X$ se trata como un vector columna, y $\mathbf X^T \mathbf X$ y $\mathbf X\mathbf X^T$ son el producto interior y exterior de $\mathbf X$ respectivamente. ¿Es esto cierto en todos los casos? ¿Existe algún truco o mnemotecnia que me ayude a llevar la cuenta del producto de una cadena de tales multiplicaciones?

EDIT: Hay un comentario que dice que es común asumir que los vectores se tratan como matrices de columnas. ¿Qué tan común es? ¿Varía entre disciplinas? ¿Qué probabilidad (dado que estoy buscando en Wikipedia y stackexchange, no en manuscritos centenarios) tengo de encontrarme con el escenario inverso?

Answer 1

Por experiencia, los vectores columna no se escriben en mayúsculas. Notas de la wiki.

$X^{T}X $ y $XX^{T} $ denotan la matriz de covarianza de $X \in \mathbb{C}^{m \times n}$

como,

$ x^{t}x = \langle x, x \rangle = \| x\| $ está en el producto interior y el producto exterior viene dado por $ x \otimes x = xx^{t} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & x_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_{1}x_{1} & x_{1}x_{2} & x_{1}x_{3} \\ x_{2}x_{1} & x_{2}x_{2} & x_{2}x_{3}\\ x_{3}x_{1} & x_{3}x_{2} & x_{3}x_{3}\end{bmatrix} $

Por supuesto, el producto exterior es también para vectores mayores, es decir

$$ u = (u_{1},u_{2}, \cdots,u_{m})\\ v= (v_{1},v_{2}, \cdots,v_{n}) $$

$$ u \otimes v = A = \begin{bmatrix} u_{1}v_{1} & u_{1}v_{2} & \cdots & u_{1}v_{n} \\ u_{2}v_{1} & u_{2}v_{2} & \cdots & u_{2}v_{n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ u_{m}v_{1} & u_{m}v_{2} & \cdots & u_{m}v_{n} \end{bmatrix} $$