Límite superior de la función hipergeométrica ${}_2F_1$

Question

Me pregunto si se cumple el siguiente límite superior:

$${}_2F_1[-m, -m; -(m+l); z]\leq 1,\tag{1}$$

donde ${}_2F_1[a,b;c;z]$ es el Función hipergeométrica de Gauss , $m,l=0,1,2,\ldots$ y $0<z<1$ . Evidentemente, esto es válido para $l=0$ ya que (1) se reduce entonces a la identidad binomial en la respuesta a una pregunta relacionada . Por lo tanto, la inducción parece ser un camino prometedor para demostrar este límite superior. Sin embargo, la aplicación directa de la expansión

$$\begin{align}{}_2F_1[-m, -m; -(m+l); z] &= {}_2F_1[-m, -m; -(m+l-1); z] \\ &\quad + \dfrac{m^2 z}{(m+l)(m+l-1)}{}_2F_1[-(m-1), -(m-1); -(m-1+l-1); z]\end{align}$$ derivado para el la mencionada solución no parece funcionar aquí. Los experimentos numéricos parecen confirmar este límite, aunque quizás haya un contraejemplo. He probado la inducción en $m$ en lugar de $l$ en vano. ¿Alguna idea?

Answer 1

Primero demuestre que, para $m >0$ la función es siempre decreciente en el intervalo $0<z<1$ :

$$\begin{align*}\dfrac{d}{dz}{}_2F_1(-m,-m;-[m+l];z) &= \dfrac{d}{dz}\sum_{n=0}^{m} \dfrac{(-m)_{n}(-m)_{n}}{(-(m+l))_{n}}\dfrac{z^{n}}{n!}\\ \\ &= \sum_{n=1}^{m} \dfrac{(-m)_{n}(-m)_{n}}{(-(m+l))_{n}}\dfrac{z^{n-1}}{(n-1)!} \\ \\ &= \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{(-m)_{k+1}(-m)_{k+1}}{(-(m+l))_{k+1}}\dfrac{z^{k}}{k!} \\ &= -\dfrac{m^2}{m+l} \sum_{k=0}^{m-1} \dfrac{(-(m-1))_{k}(-(m-1))_{k}}{(-(m-1+l))_{k}}\dfrac{z^{k}}{k!}\\ \\ &= -\dfrac{m^2}{m+l} {}_2F_1(-[m-1],-[m-1];-[m-1+l];z) \\ \\ &\le -\dfrac{m^2}{m+l} (1-z)^{m-1} \\ \\ \therefore \; \dfrac{d}{dz}{}_2F_1(-m,-m;-[m+l];z) &\lt 0\\ \end{align*}$$

que utilizó un límite inferior para ${}_2F_1(-[m-1],-[m-1];-[m-1+l];z)$ que viene de esta respuesta .

Entonces, para $m>0$ la función alcanza su valor máximo en $0<z<1$ como $z\rightarrow0$ :

$$\begin{align*}\lim_{z\to0}{}_2F_1(-m,-m;-[m+l];z) &= \lim_{z\to0} \sum_{n=0}^{m} \dfrac{(-m)_{n}(-m)_{n}}{(-(m+l))_{n}}\dfrac{z^{n}}{n!} \\ \\ &= \lim_{z\to0}\left[ 1 + \sum_{n=1}^{m} \dfrac{(-m)_{n}(-m)_{n}}{(-(m+l))_{n}}\dfrac{z^{n}}{n!}\right]\\ \\ \lim_{z\to0}{}_2F_1(-m,-m;-[m+l];z) &= 1\\ \end{align*}$$

Se puede concluir entonces:

$${}_2F_1(-m,-m;-[m+l];z) \le 1 \quad z\in (0,1), m > 0$$

Para el caso especial de $m = 0$ : $${}_2F_1(0,0;-l;z) = 1$$

Se puede entonces concluir finalmente:

$${}_2F_1(-m,-m;-[m+l];z) \le 1 \quad z\in (0,1)$$