¿Cuáles son las propiedades de los valores propios de las matrices de permutación?

Question

Hasta ahora, las únicas cosas que he sido capaz de llegar/probar son las siguientes propiedades:

• $\prod\lambda_i = \pm 1$
• $ 0 \leq \sum \lambda_i \leq n$, donde $n$ es el tamaño de la matriz
• los valores propios de la matriz de permutación se encuentran en el círculo unitario

Tengo curiosidad por saber si existen otras propiedades interesantes.

Answer 1

Una permutación puede escribirse como un producto único de ciclos primitivos $\pi = (c_1)\cdots(c_k)$. Esto corresponde a escribir la matriz en forma de bloque con cada ciclo representando un bloque. Cada ciclo de longitud $|c_i|$ tiene precisamente las raíces $|c_i|$'de la unidad como valores propios. Esto le indica al menos con precisión cuándo una colección de valores propios (con multiplicidad) puede corresponder a una matriz de permutación.