Si dos integrales son iguales, entonces las funciones son las mismas

Question

Supongamos que tenemos dos funciones continuas $f(x)$ y $g(x)$. Si las integrales $\int_{x_1}^{x_2}f dx$ y $\int_{x_1}^{x_2}g dx$ son las mismas para cualquier opción de $x_1$ y $x_2$, ¿entonces las funciones también son las mismas?

Mi intento: Arreglo $x_1$ y dejo que $x_2$ varíe. Entonces tomo la derivada de ambas integrales. Suena bien. ¿Me estoy perdiendo algo? ¿Alguna solución mejor?

Answer 1

Teorema fundamental del cálculo: Deje que $a<b$ y deje que $f$ sea una función continua (valorada real) en $\lbrack a,b\rbrack\subset \mathbb{R}$. Entonces, $\forall x\in (a,b)$, tenemos $$ f(x)=\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t.$$

Como una aplicación de este teorema para su problema, ya que $f$ y $g$ son continuos en $\mathbb{R}$, puede corregir $a\in\mathbb{R}$ y elegir cualquier $a<x$. Luego tienes $$\int_a^x f(t)\;\mathrm{d}t=\int_a^x g(t)\;\mathrm{d}t$$ por hipótesis (y esto es para cualquier $x\in\mathbb{R}$). Diferenciar ambos lados da $f(x)=g(x)$ para cualquier $x\in\mathbb{R}$. Por lo tanto, $f=g$, como se solicita.