Proyecciones en espacios de Sobolev

Question

Estuve ojeando la bibliografía pero no he encontrado nada relacionado con mi pregunta:

Me interesan las descomposiciones de funciones en espacios de Sobolev $W^{k,p}(\Omega)$ , donde $\Omega$ es una región en $\mathbb{R}^n$ . ¿Podemos enumerar todos los subespacios complementados (no triviales?) de los espacios de Sobolev? ¿Existe un argumento fácil para demostrar que son isomorfos a sus cuadrados?

Se agradecerá cualquier respuesta o sugerencia. Por supuesto, la pregunta es interesante para $p\neq 2$ .

Answer 1

Lea el artículo de Pelczynski y Wojciechowski en el vol. 2 del Handbook of the Geometry of Banach Spaces (North-Holland). En el rango reflexivo, bajo condiciones suaves el espacio $W^{k,p}$ es isomorfo a $L_p$ por lo que se pregunta por la clase de subespacios complementados de $L_p$ que ha recibido mucha atención en la teoría de los espacios de Banach. Bourgain, Rosenthal y Schechtman demostraron que existen incontables isomorfos diferentes, pero se desconoce si existe un continuo de ellos. No se sabe si todos los subespacios complementados de $L_p$ son isomorfos a sus cuadrados o si cada uno tiene una base incondicional (sin embargo, todos tienen bases de Schauder). Véase el artículo de Alspach y Odell en el vol. 1 del Handbook of the Geometry of Banach Spaces.