¿Existe un mapa de $\phi: [0, 1] \rightarrow S^2$, lo que determina una especie de Banach-Tarski de la descomposición de la unidad de intervalo de $[0, 1]$? He leído a través de Stan Wagon es El de Banach-Tarski Paradoja , pero el idioma es un poco escueto. Leí en algún lugar que Felix Hausdorff demostrado que uno puede picar la unidad de intervalo en countably muchas de las piezas, deslice las piezas a su alrededor, y les encajan en el intervalo de $[0, 2]$. No estoy seguro de todas las revistas que describen exactamente la prueba. Es posible encontrar la $\phi$ explícitamente tal vez en términos de la media tercer conjunto de Cantor?
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Oli
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Uno no puede esperar que un explícitamente edificable ejemplo. Por una vieja resultado de Solovay, si ZF (Zermelo-Fraenkel de la Teoría de conjuntos sin Elección) más "existe un cardinal inaccesible" es consistente (que generalmente se cree ser el caso), entonces también lo es ZF plus "cada conjunto de los reales es Lebesgue medible."
Los conjuntos que participan en la paradójica de descomposición no pueden ser Lebesgue medibles. De hecho, pensar en ellos como medibles es lo que hace que la descomposición parecer paradójico. Así que algo de la versión de el Axioma de Elección es necesaria, y un conjunto explícito de la teoría de la construcción de sólo ZF no es posible.
Como para "unidimensional" paradójico descomposiciones en un número finito de conjuntos, estos no son posibles. Para que se pueda demostrar que existe una finitely aditivo de traducción-invariante "medida", que se extiende medida de Lebesgue y se define en todos los conjuntos de reales. El uso de una "medida" que podemos traducir la idea intuitiva de paradoxicalness en una prueba de que no es paradójico de descomposición. El Banach-Tarski Paradoja puede ser considerado como una prueba de que no hay traducción invariante finitely aditivo "medir" definidas en todos los subconjuntos de a $\mathbb{R}^3$.
Para obtener una paradoja mediante un número finito de piezas, como en el de Banach-Tarski caso, uno debe ir más allá de isometrías. Pero si uno utiliza la medida de preservación de transformaciones, una paradoja que existe en la línea. La revisión de mi libro sobre el BTP me parece Teorema 7.9 que muestra que hay un paradójico proceso de descomposición del intervalo mediante transformaciones de preservar la medida de Lebesgue. El punto principal es que hay un Lebesgue-medir la preservación de la función del intervalo de la esfera, y que puede ser utilizado para mover el Banach-Tarski Paradoja hacia abajo a la línea.
Y hay von Neumann paradoja (Thm 7.12), que proporciona una finitary paradójico de la descomposición de la línea con epsilon contracciones, para cualquier positivo epsilon. Ya que dicha contracción es lineal fraccional de transformación que se encoge a medida de Lebesgue, por lo que puede ser considerado paradójico. Ambos de estos utilizan el Axioma de Elección.
Stan Wagon
Matthew Scouten
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En realidad, vamos a trabajar con el círculo de ${\mathbb T} = {\mathbb R}/{\mathbb Z}$, e $\mathbb Q_T = {\mathbb Q}/{\mathbb Z}$. Un conjunto de Vitali $V$ es un subconjunto de a $\mathbb T$ tal que $\mathbb T$ es distinto de la unión de la traduce $V + r$$r \in \mathbb Q_T$. Por supuesto, esto no puede ser construido de forma explícita, usted necesita el Axioma de Elección. Ahora para $r \in [0,1/2)/\mathbb Z$ traducir $V + r$$V + 2r$, y la inconexión de la unión de estas es$\mathbb T$; $r \in [1/2, 1)/\mathbb Z$ traducir $V + r$$V + 2r - 1$, y la inconexión de la unión de estos también es $\mathbb T$. Así que hemos descompuesto $\mathbb T$ en countably muchas de las piezas, tradujo algunos de ellos para hacer el $\mathbb T$, y traducida al resto a hacer otra copia de $\mathbb T$.
Si usted toma $[0,1)$ en lugar de $\mathbb T$, usted puede hacer este trabajo con un ligero ajuste: en lugar de traducir todos los de $V + r$ $r$ conseguir $V+2r$, usted tiene que romper $V+r$ en dos piezas, traducir $(V + r) \cap [0,1-r)$ $r$ pero traducir $(V + r) \cap [1-r, 1)$$r-1$.
Si desea utilizar $[0,1]$ en lugar de $[0,1)$ hay una complicación adicional: ¿qué hacer con $1$?. Pero eso no duro: tomando nota de que todas las traducciones anteriores fueron por los números racionales, usted acaba de hacer lo que me describe a la irrationals en $[0,1]$, y por separado mapa de los racionales en $[0,1]$ a dos copias de sí mismo.
