Factor intrínsecamente ergódico

Question

Dejemos que $(X,T)$ y $(Y,S)$ sean dos sistemas intrínsecamente ergódicos con la misma entropía topológica, es decir $\exists ! \mu, \exists ! \nu$ medidas de entropía máxima tales que $h_\mu(T)=h_{top}(T)=h_{top}(S)=h_\nu(S)$ . Demostrar que si $\pi:(X,T)\rightarrow (Y,S)$ es un factor, es decir $\pi$ es continua, suryente y $\pi \circ T=S\circ \pi$ entonces $\pi\mu=\nu$ .

Se agradecerá cualquier ayuda.

Answer 1

Si no me he perdido nada, estos pasos parecen funcionar:

1. Demostrar que existe una medida de probabilidad $\nu'$ sur $X$ tal que $\pi\nu' = \nu$ .

2. Demostrar que existe una medida de probabilidad invariante $\nu'$ sur $(X, T)$ tal que $\pi\nu' = \nu$ .

3. Demostrar que $h(\nu') \ge h(\nu)$ .

4. Demostrar que $\nu'$ es a medida de entropía máxima, por lo que el medida de entropía máxima en $(X, T)$ .