Construir una subserie irracional a partir de series de racionales positivos.

Question

Dejemos que $a_n$ sea una secuencia de números racionales positivos cuya suma es racional. Me gustaría construir una sucesión de $a_n$ cuya suma es irracional. Este es un caso especial de esta pregunta .

Sé que ese número existe (ver la versión generalizada para la prueba de existencia), y se sugirió utilizar el teorema de Louiville.

Ahora tengo una idea que podría funcionar pero no estoy seguro de cómo probarla o si es correcta. Empecemos a construir nuestra subsecuencia, empezaremos por incluir $a_1$ . Escribiremos $a_1$ en decimal y en algún momento la representación para $a_1$ comenzará a repetirse. Por ejemplo, podría ser $.1483\ldots43\overline{748}$ o realmente cualquier otra cosa, pero después de cierto número de dígitos comenzará a repetirse porque es racional. Digamos que empieza a repetirse en el $k^{\text{th}}$ después del decimal, entonces escogeremos el segundo elemento de nuestra subsecuencia para que sea menor que $10^{-k}$ y, por lo tanto, se "desordena" la parte repetida del número. Ahora la suma de estas dos primeras cosas tendrá una parte repetida más abajo en el número. Seguimos repitiendo este proceso y creo que terminamos con un irracional una vez que hacemos este infinito.

¿Funciona esto como construcción? Si es así, ¿puede mostrar por qué, y si no hay alguna otra construcción que funcione?

Answer 1

Es fácil crear lo que parecen irracionales a partir de subseries de racionales que convergen a un racional. Sin embargo, entonces tienes el problema de demostrar que los números que obtienes de esta manera son realmente irracionales. Por ejemplo, puedes usar la serie doble que he creado y que siempre converge a un racional

$$\frac{z}{z-1}=\sum_{m=0}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+z^m)\prod_{n=0}^{k-2}(n+z^m)}$$

Ver mi pregunta Racional aproximado por una serie de racionales de convergencia rápida

Si se mantiene $k$ constante se pueden crear candidatos irracionales, pero ¿cómo se demuestra que son irracionales? en el caso $k=1$ y $z=2$ tenemos según Mathematica

$$\sum_{m=0}^\infty \sum_{k=1}^1 \frac{1}{(k+2^m)\prod_{n=0}^{k-2}(n+2^m)}=\frac{-\log (2)+\psi _{\frac{1}{2}}^{(0)}\left(-\frac{i \pi }{\log (2)}\right)}{\log (2)}$$

En el caso general de $k=1$ y $z$ tenemos según Mathematica

$$\sum_{m=0}^\infty \sum_{k=1}^1 \frac{1}{(k+z^m)\prod_{n=0}^{k-2}(n+z^m)}=\frac{2 \psi _z^{(0)}\left(-\frac{i \pi }{\log (z)}\right)+2 \log (z-1)+\log (z)+2 i \pi }{2 \log (z)}$$

Esto es una conjetura, pero espero que le dé algunas ideas. No sé lo suficiente sobre la función q-diagamma tener un buen manejo de cómo demostrar que estos números son irracionales.

También hay muchas otras posibilidades. Esta es la serie doble análoga para la función zeta

$$\zeta(s)=\sum_{m=0}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+m^s)\prod_{n=0}^{k-2}(n+m^s)}$$

Para $s=2$ y $k=1$ tenemos

$$\sum_{m=0}^\infty \sum_{k=1}^1 \frac{1}{(k+m^2)\prod_{n=0}^{k-2}(n+m^2)}=\frac{1}{2} (\pi \coth (\pi )-1)$$

Estaba intentando ver si hay alguna diferencia entre los dos tipos de series dobles, una que converge a un racional y otra que converge a un irracional, pero no he avanzado mucho en esto ya que he tenido otras cosas que hacer.