Ley general débil de los grandes números

Question

Me encontré con una pregunta sobre la WLLN. Supongamos que para $X \geq 0$ , $\mathbb{E}[X] = \infty$ , $S_n = \sum_{i \leq n} X_i$ , $X_i$ son copias iid de $X$ y

$\frac{\mathbb{E}[X \mathbf{1} _{X \leq s} ] }{s(1 - F_X(s))}$ $\rightarrow$ $\infty$ .

Dejemos que $\mu(s) = \mathbb{E}[X \mathbf{1} _{X \leq s} ]$ , entonces para $n$ lo suficientemente grande podemos elegir $b_n$ tal que $n\mu(b_n) = b_n$ .

Estoy atascado en la existencia de $b_n$ . Básicamente, el problema pasa a pedirnos que demostremos que $\frac{S_n}{b_n} \rightarrow 1$ que puedo demostrar si asumo la existencia de $b_n$ .

Answer 1

Por cada $s\gt0$ , dejemos que $\nu(s)=\mu(s)/s+P(X\gt s)$ entonces $\nu(s)=E(u_s(X))$ donde, para cada $x\geqslant0$ , $u_s(x)=\min\{1,x/s\}$ . Supongamos que $P(X=0)\ne1$ . Entonces, para cada $x\geqslant0$ , $u_s(x)\leqslant1$ , $u_s(x)\leqslant u_t(x)$ por cada $s\geqslant t$ , $u_s(x)\to0$ cuando $s\to+\infty$ y, para cada $x\gt0$ , $u_s(x)\to P(X\gt0)$ cuando $s\to0$ .

Así, la función $\nu$ es no creciente y, por convergencia dominada, $\nu(s)\to P(X\gt0)$ cuando $s\to0$ y $\nu(s)\to0$ cuando $s\to+\infty$ .

Además, para cada $s\leqslant t$ , $\|u_s-u_t\|_\infty=u_s(s)-u_t(s)=(t-s)/t$ por lo que la función $\nu$ es continua.

Si la distribución de $X$ es continua, la función $s\mapsto\mu(s)/s=\nu(s)-P(X\gt s)$ es continua, con límites $0$ cuando $s\to0$ y cuando $s\to+\infty$ . Además, existen algunas $s^*\gt0$ tal que $P(0\lt X\lt s^*)\gt0$ Por lo tanto $\mu(s^*)\gt0$ . Sea $M=\mu(s^*)/s^*$ entonces, para cada $x$ en $(0,M)$ existe algún $\beta(x)$ en $(s^*,+\infty)$ tal que $\mu(\beta(x))/\beta(x)=x$ .

Por cada $n$ lo suficientemente grande, $1/n\lt M$ por lo que $b_n=\beta(1/n)$ resuelve la cuestión en este caso.

Si la distribución de $X$ tiene algunos átomos, el argumento de continuidad utilizado anteriormente falla (la función $\nu$ sigue siendo continua pero no la función $\mu$ ) y, en realidad, uno duda de que el resultado se mantenga en toda su generalidad.