Descenso fielmente plano sobre álgebras de Hopf en términos de estructuras comódulo

Question

Dejemos que $A$ sea un álgebra de Hopf (de grado finito) sobre un campo $k$ , $E$ sea una subálgebra de Hopf, y $R=A \otimes_E k$ . Entonces la comulgación en $A$ induce una estructura de álgebra en $R$ . Además, $R$ es una álgebra en la categoría monoidal de $A$ -módulos, con $A$ actuando sobre $R \otimes R$ en diagonal a través de la comulgación. Definir un $R$ -comódulo para ser un objeto $M$ que es al mismo tiempo un $A$ -y un $R$ -tal que el mapa de estructura $M \to R \otimes M$ es un mapa de $A$ -para la diagonal $A$ -estructura de módulo en el producto tensorial.

$A$ es, naturalmente, un elemento interno $R$ -comódulo, a través de la comulgación $A \to A \otimes A \to R \otimes A$ . Para cualquier $E$ -Módulo $N$ , $A \otimes_E N$ entonces hereda un $R$ -estructura del módulo de $A$ . Por el contrario, si $M$ es un interno $R$ -comódulo, $N={m:d(m)=1 \otimes m}$ es un $E$ -módulo, donde $d:M \to R \otimes M$ es el mapa de la estructura.

¿Es cierto (posiblemente bajo algunas hipótesis razonables de amabilidad) que estos dos funtores entre módulos E e internos $R$ -¿los módulos son inversos? En particular, me gustaría interpretar esto en términos de descenso fielmente plano: $A$ es fielmente plana sobre $E$ y quiero decir que para un $A$ -Módulo $M$ hay una biyección natural entre los datos de descenso que nos permite identificar $M=A \otimes_E N$ para un $E$ -Módulo $N$ y la interna $R$ -estructuras de los módulos $M \to R \otimes M$ .

Perdona si me estoy equivocando en algunas cosas sobre las hipótesis necesarias para que esto tenga sentido; estoy tratando de entenderlo en un ejemplo concreto y no conozco mucho la teoría general.

Answer 1

Un ejemplo muy pequeño en el que la respuesta es no:

Supongamos que $k$ tiene la característica no dos y $A=k\langle x,y:x^2=1, y^2=0\rangle$ con $\Delta(x)=x\otimes x$ , $\Delta(y)=y\otimes 1+x\otimes y$ , $\varepsilon(x)=1$ y $\varepsilon(y)=0$ ; esta es el álgebra de Hopf de Sweedler. Sea $E$ sea el subálgebra de Hopf generada por $x$ que tiene $\{1,x\}$ como base. A continuación, $R=k\otimes_EA$ tiene $\{\overline 1=1\otimes 1,\overline y=1\otimes y\}$ como base, y su estructura de álgebra viene dada por $\Delta(\overline 1)=\overline 1\otimes\overline 1$ , $\Delta(\overline y)=\overline y\otimes\overline1+\overline1\otimes\overline y$ , $\varepsilon(\overline1)=1$ y $\varepsilon(\overline y)=0$ .

Desde $E\cong k\times k$ como un álgebra, la categoría $\mathrm{Mod}_E$ es semisimple.

Por otro lado, supongamos que $M\in\mathrm{Mod}_A^R$ . Se puede comprobar que el derecho $R$ -Estructura del módulo $\rho$ de $M$ está determinada por un mapa lineal $\phi:M\to M$ tal que $\phi^2=0$ mediante la ecuación $$\rho(m)=m\otimes\overline 1+\phi(m)\otimes\overline y.$$ Del mismo modo, el $A$ -estructura de módulo en $M$ se ve fácilmente que es tal que $m\cdot y=0$ para todos $m\in M$ y $\phi(m\cdot x)=\phi(m)\cdot x$ para todos $m\in M$ . De ello se deduce que se puede identificar un objeto $M$ de $\mathrm{Mod}_A^R$ con un $4$ -tupla $(M^+,M^-,\phi^+,\phi^-)$ tal que $M=M^+\oplus M^-$ es la descomposición de $M$ como suma directa de los eigenspaces de la multiplicación por la derecha por $x$ (los únicos valores propios posibles son $1$ y $-1$ y es diagonalizable) y $\phi^{\pm}:M^\pm\to M^\pm$ son las restricciones del mapa $\phi$ à $M^+$ y $M^-$ (por lo que, en particular, cuadran a cero). Además, los morfismos en $\mathrm{Mod}_A^R$ tienen la descripción obvia en términos de estos $4$ -tuplas.

Ahora, es muy fácil ver usando esta descripción que $\mathrm{Mod}_A^R$ no es semipresente: por ejemplo, el objeto $(k^2,0,\left(\begin{array}{cc}0&1\\\\0&0\end{array}\right),0)$ no es semisimple (de hecho, la categoría es la suma directa de dos copias de la categoría de módulos sobre el carcaj $\bullet\to\bullet$ ). De ello se desprende que $\mathrm{Mod}_E$ y $\mathrm{Mod}_A^R$ no son equivalentes en este caso.

(Aunque la respuesta es sí, en los dos casos extremos en los que (i) $E=k$ o (ii) $E=A$ (el primero es el "teorema fundamental de las álgebras de Hopf", el segundo es trivial)

Answer 2

Vale, esta pregunta me sigue preocupando y sigo sin saber la respuesta. A decir verdad, sospecho que es falsa.

Escribo para señalar que sus dos funtores son contiguos. Más precisamente, supongamos que tenemos un mapa de R-comódulos de

Un tensor_E M --> N

donde M es un módulo E. Entonces obtenemos un mapa inducido del módulo E sobre los primitivos

P(A tensor_E M) --> PN

Hay un mapa obvio M --> P(A tensor_E M)

que lleva m a 1 tensor m. Así obtenemos un mapa E-módulo M --> PN.

A la inversa, si tenemos un mapa E-módulo M --> PN, entonces obtenemos un mapa R-comódulo

A tensor_E M --> A tensor_E PN

entonces el mapa de multiplicación A tensor_E PN --> N es un mapa R-comódulo, por lo que obtenemos

un mapa R-comódulo A tensor_E M --> N, y esto hace que los funtores sean contiguos.

Answer 3

Tengo una sugerencia para ti. Pruebe cuando $A=k[G]$ para un grupo finito $G$ y $E=k[H]$ para un subgrupo $H$ . Entonces $R$ debe ser $k[G/H]$ que, por supuesto, sólo será una álgebra de carbón y no un álgebra de Hopf si $H$ no es normal. Este ejemplo me lleva a dudar de su afirmación de que $R$ es una álgebra en la categoría de $A$ -algebras, ya que no creo que $R$ es un $A$ -a menos que E sea normal.

De todos modos, su resultado deseado debe ser algo sobre la inducción y la restricción en este caso. En efecto, un módulo E N no es más que una representación de $H$ . Un tensor sobre $E$ con $N$ es sólo la representación G inducida.