Teorema del apretón (como el OP escribió) sabemos que eso $lim_{y\to 0} {siny\over y} = 1$
Utilizando la definición delta épsilon (voy a utilizarla en para $lim_{y\to 0} {siny\over y} = l, l \in \mathbb R$ ) da lo siguiente:
Dada una $\epsilon$ > 0 $\exists \delta$ tal que $|{siny\over y} - l| < \epsilon$ para y $\in$ $[y_0-\delta, y_0+\delta], l \in \mathbb R$
Rompiendo el valor absoluto da:
$$l-\epsilon < {siny\over y} < l+\epsilon$$
multiplicar ambos lados por y dando:
$$y(l-\epsilon) < {siny} < y(l+\epsilon) =$$
$$yl-y\epsilon< siny < yl + y\epsilon$$ Desde $l \in \mathbb R$ tenemos un nuevo $\epsilon_1 = {\epsilon\over l}$ La desigualdad se convierte en $$y-y\epsilon_1< siny < y + y\epsilon_1$$ A continuación, divida por $y \in \mathbb R$ $$ {y-y\epsilon_1\over y}< {siny\over y} < {y + y\epsilon_1\over y} $$ Entonces $$ 1-{y\epsilon_1\over y}< {siny\over y} < 1 + {y\epsilon_1\over y} $$
Entonces reescribe como la definición de límite: $$ |{siny\over y} - 1| < \epsilon_1 $$
La sustitución da como resultado lo mismo para $$lim_{x\to0^+}{sin(x⋅ln(x))\over x⋅ln(x)}=1$$ (sólo hay que tener en cuenta el límite del lado derecho, ya que $ln(x)$ no está definido para $x < 0$ ).
Tenga en cuenta que antes de utilizar De L'Hopital deben cumplirse las condiciones, es decir, darse $lim_{x \to x0} {f(x)\over g(x)}$ los límites de las derivadas deben existir antes de aplicando el teorema, o que $lim_{x \to x0} f'(x)$ y $lim_{x \to x0} g'(x) $ ambos existen, sólo entonces es $lim_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)} = lim_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}$
