Hace $\frac{\sin(x\ln x)}{x\ln x}$ como $x$ se acerca a $0$ del lado derecho tienen un límite?

Question

Estoy tratando de determinar si

$$\lim_{x\rightarrow0^{+}}\frac{\sin(x \cdot \ln(x))}{x\cdot \ln(x)}$$

¿tiene un límite?

Desde

$$\ln(x) \rightarrow -\infty\text{ as }x \rightarrow 0^{+}$$

He intentado utilizar la regla de L'hôpital sin suerte. Más tarde me dijeron que no utilizara la regla de L'hôpital, sino que utilizara la regla $\epsilon -\delta$ definición para obtener el resultado

$$\lim_{x\rightarrow 0^{+}} \frac{\sin(x \cdot \ln(x))}{x\cdot \ln(x)}=1$$

Me gustaría que me ayudaran a demostrar el límite de la función utilizando el $\epsilon -\delta$ definición

Gracias de antemano

Answer 1

Dejemos que $u = x \ln x$ . Tenemos $$\lim_{x \to 0^+} u = 0,$$ y $$\lim_{u \to 0}\frac{\sin u}{u} = 1.$$ Puedes probar ambos límites con la regla de L'hôpital. Para el primero, aplica la regla a $\ln x/(1/x)$ . Por lo tanto, $$\lim_{x \to 0^+}\frac{\sin(x \ln x)}{x \ln x} = 1.$$

Answer 2

Teorema del apretón (como el OP escribió) sabemos que eso $lim_{y\to 0} {siny\over y} = 1$

Utilizando la definición delta épsilon (voy a utilizarla en para $lim_{y\to 0} {siny\over y} = l, l \in \mathbb R$ ) da lo siguiente:

Dada una $\epsilon$ > 0 $\exists \delta$ tal que $|{siny\over y} - l| < \epsilon$ para y $\in$ $[y_0-\delta, y_0+\delta], l \in \mathbb R$

Rompiendo el valor absoluto da:

$$l-\epsilon < {siny\over y} < l+\epsilon$$

multiplicar ambos lados por y dando:

$$y(l-\epsilon) < {siny} < y(l+\epsilon) =$$

$$yl-y\epsilon< siny < yl + y\epsilon$$ Desde $l \in \mathbb R$ tenemos un nuevo $\epsilon_1 = {\epsilon\over l}$ La desigualdad se convierte en $$y-y\epsilon_1< siny < y + y\epsilon_1$$ A continuación, divida por $y \in \mathbb R$ $${y-y\epsilon_1\over y}< {siny\over y} < {y + y\epsilon_1\over y}$$ Entonces $$1-{y\epsilon_1\over y}< {siny\over y} < 1 + {y\epsilon_1\over y}$$

Entonces reescribe como la definición de límite: $$|{siny\over y} - 1| < \epsilon_1$$

La sustitución da como resultado lo mismo para $$lim_{x\to0^+}{sin(x⋅ln(x))\over x⋅ln(x)}=1$$ (sólo hay que tener en cuenta el límite del lado derecho, ya que $ln(x)$ no está definido para $x < 0$ ).

Tenga en cuenta que antes de utilizar De L'Hopital deben cumplirse las condiciones, es decir, darse $lim_{x \to x0} {f(x)\over g(x)}$ los límites de las derivadas deben existir antes de aplicando el teorema, o que $lim_{x \to x0} f'(x)$ y $lim_{x \to x0} g'(x)$ ambos existen, sólo entonces es $lim_{x\to x_0}{f(x)\over g(x)} = lim_{x\to x_0}{f'(x)\over g'(x)}$