$f$ tiene un máximo local en un punto $x \in E$ . Demostrar que $f'(x)=0$

Question

Supongamos que $f$ es una función real diferenciable en un conjunto abierto $E \subset \mathbb{R^n}$ y que $f$ tiene un máximo local en un punto $x \in E$ . Demostrar que $f'(x)=0$

Answer 1

Este es el caso de $n=1.$ qué es $f^\prime(x)$ para $x$ en $R^n, n > 1?$

puede argumentar por contradicción. suponga $f$ tiene un máximo local y $f^\prime(a) \neq 0.$ podemos suponer que $f^\prime(a) > 0$ porque si no toma $-f$ en su lugar.

desde $f^\prime(a) > 0,$ de la definición de derivada se tiene $\dfrac{1}{2}f^\prime(a) \le \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} \le \dfrac{3}{2}f^\prime(a)$ para $x$ suficientemente cerca $a.$ esto se puede reescribir como $$f(a) + \dfrac{1}{2}f^\prime(a)(x-a) \le f(x) \le f(a) + \dfrac{3}{2}f^\prime(a)(x-a)$$ esto implica $f$ está aumentando alrededor de $a$ y contradice que $f$ tiene un máximo local en $x = a.$