Órbita de la matriz identidad bajo acciones del álgebra de grupos de Lie

Question

Me gustaría una descripción explícita de $\mathbb{R} SO(n) I_n$ es decir, la imagen de la identidad bajo la acción del grupo álgebra de $SO(n)$ por multiplicación a la izquierda. Equivalentemente, lo que es una descripción explícita del espacio vectorial $\{\sum_i c_i A_i: A_i \in SO(n)\}$ ? ¿Supuestamente esto es bien conocido y en el contexto de todos los grupos de Lie simples compactos? Lo necesito para entender alguna cadena de Markov de espacio de estado continuo de sistemas de partículas.

Edición: a los que voten por el cierre, por favor, expongan la razón. Si tienen una respuesta de una sola línea, ¿por qué no lo intentan? Yo mismo lo cerraré cuando vea una respuesta satisfactoria.

Answer 1

Para $n\geq3$ es el espacio completo de $n\times n$ matrices reales. La razón es que el $SO(n)$ -órbita a través de la identidad es la misma que la $SO(n)\otimes SO(n)$ -órbita por la izquierda y la multiplicación por la derecha, $(g,h)\cdot X=gXh^{-1}$ y esta representación es irreducible para $n\geq3$ . (Obsérvese que el tramo de cualquier órbita es un subespacio invariante, en general).