En un antiguo tema de MathLinks (post #6; pero vea abajo una copia) He dado una prueba de la desigualdad reduciéndola a $\left(\sqrt{a}\vec{p}+\sqrt{b}\vec{q}+\sqrt{c}\vec{r}\right)^2\geq 0$ donde multiplicación significa producto escalar de vectores y $\vec{p}$ , $\vec{q}$ , $\vec{r}$ son vectores de longitud unitaria elegidos de forma que los ángulos entre ellos sean $\pi-u$ , $\pi-v$ , $\pi-w$ respectivamente. Esto se reescribe geométricamente como sigue: Elige un punto $P$ en el plano, y tomar tres puntos $A$ , $B$ , $C$ tal que $PA=\sqrt{a}$ , $PB=\sqrt{b}$ , $PC=\sqrt{c}$ , $\measuredangle BPC=\pi-u$ , $\measuredangle CPA=\pi-v$ y $\measuredangle APB=\pi-w$ . Entonces, la diferencia entre el lado izquierdo y el lado derecho de su desigualdad es $9$ veces el cuadrado de la distancia entre el punto $P$ y el centro del triángulo $ABC$ . Por tanto, la igualdad se da si y sólo si $P$ es el centro del triángulo $ABC$ esto equivale a la afirmación de que los triángulos $BPC$ , $CPA$ , $APB$ tienen áreas iguales; esto, a su vez, equivale a la afirmación de que $\sqrt{a}:\sqrt{b}:\sqrt{c}=\sin u:\sin v:\sin w$ (porque el área del triángulo $BPC$ es $\frac{1}{2}\cdot PB\cdot PC\cdot \sin\measuredangle BPC=\frac{1}{2}\sqrt{b}\sqrt{c}\sin u$ etc.).
Para una mejor búsqueda, permíteme copiar mis posts de MathLinks aquí (encontrar algún post antiguo en MathLinks es casi imposible por ahora). Tenga en cuenta que no reclamo la originalidad de los teoremas.
Teorema 1. Dejemos que $x$ , $y$ , $z$ sean tres números reales y $A$ , $B$ , $C$ tres ángulos reales tales que $A + B + C = 180^{\circ}$ . Entonces,
$x^2+y^2+z^2\geq 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$ .
Prueba del teorema 1. Denotaremos por $\measuredangle\left(\overrightarrow{p};\;\overrightarrow{q}\right)$ el ángulo dirigido entre dos vectores $\overrightarrow{p}$ y $\overrightarrow{q}$ (nótese que se trata de un ángulo dirigido módulo $360^{\circ}$ ).
Para dos vectores cualesquiera $\overrightarrow{p}$ y $\overrightarrow{q}$ vamos a denotar por $\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{q}$ el producto escalar de los vectores $\overrightarrow{p}$ y $\overrightarrow{q}$ .
Para cualquier vector $\overrightarrow{p}$ vamos a denotar por $\overrightarrow{p}^2$ el producto escalar $\overrightarrow{p}\cdot\overrightarrow{p}$ . Cada vector $\overrightarrow{p}$ satisface $\overrightarrow{p}^2=\left|\left|\overrightarrow{p}\right|\right|^2\geq 0$ .
Dejemos que $\overrightarrow{a}$ sea un vector de longitud unitaria. Sea $\overrightarrow{b}$ sea un vector de longitud unitaria tal que $\measuredangle\left(\overrightarrow{a};\;\overrightarrow{b}\right)=180^{\circ}-C$ . Sea $\overrightarrow{c}$ sea un vector de longitud unitaria tal que $\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)=180^{\circ}-A$ . Entonces,
$\measuredangle\left(\overrightarrow{c};\;\overrightarrow{a}\right)=360^{\circ}-\measuredangle\left(\overrightarrow{a};\;\overrightarrow{b}\right)-\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)$ $=360^{\circ}-\left(180^{\circ}-C\right)-\left(180^{\circ}-A\right)=C+A=180^{\circ}-B$
(ya que $A + B + C = 180^\circ$ ).
Ahora, todos los vectores $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ y $\overrightarrow{c}$ tienen una longitud unitaria: $\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{b}\right|=\left|\overrightarrow{c}\right|=1$ . Así, $\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)=180^{\circ}-A$ rinde
$\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=\left|\overrightarrow{b}\right|\cdot\left|\overrightarrow{c}\right|\cdot\cos\measuredangle\left(\overrightarrow{b};\;\overrightarrow{c}\right)=1\cdot 1\cdot\cos\left(180^{\circ}-A\right)=\cos\left(180^{\circ}-A\right)$ $=-\cos A$ .
Del mismo modo, obtenemos $\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}=-\cos B$ y $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=-\cos C$ . Así,
$\left(x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}+z\cdot\overrightarrow{c}\right)^2$
$=\left(x\cdot\overrightarrow{a}\right)^2+\left(y\cdot\overrightarrow{b}\right)^2+\left(z\cdot\overrightarrow{c}\right)^2$
${}+2\cdot y\cdot\overrightarrow{b}\cdot z\cdot\overrightarrow{c}+2\cdot z\cdot\overrightarrow{c}\cdot x\cdot\overrightarrow{a}+2\cdot x\cdot\overrightarrow{a}\cdot y\cdot\overrightarrow{b}$
$=x^2\underbrace{\cdot\left|\overrightarrow{a}\right|^2}_{=1^2}+y^2\cdot\underbrace{\left|\overrightarrow{b}\right|^2}_{=1^2}+z^2\cdot\underbrace{\left|\overrightarrow{c}\right|^2}_{=1^2}+2yz\cdot\underbrace{\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}}_{=-\cos A}+2zx\cdot\underbrace{\overrightarrow{c}\cdot\overrightarrow{a}}_{=-\cos B}+2xy\cdot\underbrace{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}_{=-\cos C}$
$=x^2\cdot 1^2+y^2\cdot 1^2+z^2\cdot 1^2+2yz\cdot\left(-\cos A\right)+2zx\cdot\left(-\cos B\right)+2xy\cdot\left(-\cos C\right)$
$=x^2+y^2+z^2-2yz\cos A-2zx\cos B-2xy\cos C$ .
Dado que, obviamente, tenemos $\left(x\cdot\overrightarrow{a}+y\cdot\overrightarrow{b}+z\cdot\overrightarrow{c}\right)^2\geq 0$ Así pues, obtenemos $x^2+y^2+z^2-2yz\cos A-2zx\cos B-2xy\cos C\geq 0$ para que $x^2+y^2+z^2\geq 2yz\cos A+2zx\cos B+2xy\cos C$ y se demuestra el Teorema 1.
Otras pruebas del Teorema 1 pueden encontrarse en http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=5243 y http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=42509 .
El teorema 1 es equivalente a la siguiente desigualdad, también bastante útil (para las secciones de matemáticas de las olimpiadas y de los problemas de las revistas, eso sí, aunque no me extrañaría ver más aplicaciones):
Teorema 2. Dejemos que $x$ , $y$ , $z$ sean tres números reales y $A$ , $B$ , $C$ tres ángulos reales tales que $A + B + C$ es un múltiplo de $180^{\circ}$ . Entonces,
$ \left(x + y + z\right)^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$ .
Sólo mostraremos un Prueba del Teorema 2 utilizando el Teorema 1 : En primer lugar, podemos WLOG suponer que $A + B + C = 180^{\circ}$ . Esto se debe a que la desigualdad
$ \left(x + y + z\right)^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$
no cambiará si añadimos un múltiplo de 180° a uno de los ángulos A, B y C (porque $ \sin^{2}\left(180^{\circ} + u\right) = \sin^{2}u$ para toda u), y en consecuencia, dado que A + B + C es un múltiplo de 180°, podemos añadir un múltiplo de 180° al ángulo A de tal manera que, después de esto, tendremos A + B + C = 180°.
Ahora, para A + B + C = 180°, tenemos
$ \left(180^{\circ} - 2A\right) + \left(180^{\circ} - 2B\right) + \left(180^{\circ} - 2C\right) = 540^{\circ} - 2\cdot\left(A + B + C\right)$ $ = 540^{\circ} - 2\cdot 180^{\circ} = 180^{\circ}$ .
Por lo tanto, el Teorema 1 (aplicado a $ 180^{\circ}-2A$ , $ 180^{\circ}-2B$ , $ 180^{\circ}-2C$ en lugar de $ A$ , $ B$ , $ C$ ) produce
$ x^{2} + y^{2} + z^{2}\geq 2yz\cos\left(180^{\circ} - 2A\right) + 2zx\cos\left(180^{\circ} - 2B\right) + 2xy\cos\left(180^{\circ} - 2C\right)$ .
Desde $ \cos\left(180^{\circ} - 2A\right) = - \cos\left(2A\right) = - \left(1 - 2\sin^{2}A\right) = 2\sin^{2}A - 1$ y de manera similar $ \cos\left(180^{\circ} - 2B\right) = 2\sin^{2}B - 1$ y $ \cos\left(180^{\circ} - 2C\right) = 2\sin^{2}C - 1$ esto se convierte en
$ x^{2} + y^{2} + z^{2}\geq 2yz\left(2\sin^{2}A - 1\right) + 2zx\left(2\sin^{2}B - 1\right) + 2xy\left(2\sin^{2}C - 1\right)$ $ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ x^{2} + y^{2} + z^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right) - \left(2yz + 2zx + 2xy\right)$ $ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ x^{2} + y^{2} + z^{2} + \left(2yz + 2zx + 2xy\right)\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$ $ \Longleftrightarrow\ \ \ \ \ \left(x + y + z\right)^{2}\geq 4\left(yz\sin^{2}A + zx\sin^{2}B + xy\sin^{2}C\right)$ ,
y se demuestra el Teorema 2.
El teorema 2 también se deduce trivialmente de http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=15558 y también se debatió en http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=3849 ...
