Si la velocidad de rotación de la tierra aumentó un 2% cada día a partir de hoy...¿cuál sería la diferencia en la edad de 20 años a partir de ahora?

Question

Si la nueva ajustar la revolución de la tierra todavía equivalía a un día y los 365 días todavía equivalía a un año, ¿cuántos años tendría alguien de 20 años a partir de ahora, con 20 años, basado en la rotación actual de la tierra) en comparación con la nueva rotación de la tierra?

Estoy buscando una fórmula para la suma. (Se entiende que una revolución completa alrededor del sol no sería igual a 365 días. Por el bien de la ecuación, año bisiesto no serán tomadas en cuenta..1 año=365 días. También se supone que la vida humana todavía sería posible dada la tierra nueva velocidad de rotación)

Edit 1: el aumento de La velocidad se incrementará en un 2% durante el día anterior de la rotación, y va a pasar de una vez a la medianoche. La medianoche de hoy se indican el comienzo del período de 20 años (en la actual velocidad de rotación)

Edit 2: supongo que un poco de la suspensión de la incredulidad sería el fin de esta pregunta. Alguien que sea experto en física me dijo que la vida humana y, posiblemente, la tierra podría no existir si la rotación es mayor a esa cantidad para que la longitud del tiempo.

Answer 1

Desde $speed \times time = distance$, y la distancia es siempre constante, por lo que en el Día $1$, la velocidad es $1.02s$ ($s$ es la velocidad original), por lo tanto el tiempo necesario para una rotación completa es $t / 1.02$ ($t$ es el original de tiempo que se necesita para una rotación completa).

En el Día $2$, la velocidad es $1.02^2s$. Por lo tanto, el tiempo necesario para una rotación completa es $t / (1.02^2)$.

$\dots$

En general, en el Día $x$, la velocidad es $1.02^xs$. El tiempo necesario para una rotación completa es $t / (1.02^x)$.

Suponga $20$ años, $7300$ días, ahora tenemos:

$$\sum\limits_{x=1}^y \frac{t}{1.02^x} = 7300t$$

y resolver para $y$. El $t$ en ambos lados puede ser cancelado así que nos quedamos con:

$$\sum\limits_{x=1}^y \frac{1}{1.02^x} = 7300$$

Entonces, podemos aplicar la fórmula para la suma de los primeros a $n$ términos de una serie geométrica y resolver para $y$.

Añadido: Malas Noticias! En realidad, no hay una solución para $y$. Mediante la suma de la serie geométrica, obtenemos:

$$\frac{1}{1.02} \frac{1-(\frac{1}{1.02})^{y+1}}{1-\frac{1}{1.02}} = 7300 $$

Simplificando obtiene:

$$ 50 \times (1-(\frac{1}{1.02})^{y+1}) = 7300 $$

Como se ha señalado por @HagenvonEitzen, el LHS no puede exceder $50$ no importa cuán grande $y$ es. Así que si mis trabajos son correctos, se sugiere que la velocidad de la rotación se va tan rápido que en un mundo así, el infinito en términos de tiempo es igual a $50$ días en el mundo en que estamos viviendo ahora.

Answer 2

Original de mi respuesta incorrecta: $$ \frac{1}{365}\sum_{k=0}^{7299} 1.02^k\aprox 8.278\cdot 10^{61}\text{ años} $$

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Mi respuesta original contenía un error de asumir que el incremento obedeció a la convencional días y no los nuevos y más rápidos los días. Aquí están mis versiones fijas:

Continua la versión

Si la velocidad aumenta gradualmente y por $2\%$ en comparación con el último de la medianoche, que puede ser descrito a través de la siguiente ecuación diferencial: $$ y'=1.02^y $$ donde $y(x)$ indica el número de rotaciones/"nuevos días" después de $x$ convencional días. Dada la condición inicial $y(0)=0$ esto tiene solución $$ y(x)=-\frac{\ln(1-\ln(1.02)x)}{\ln(1.02)}\approx -50.498\ln(1-0.0198026 x) $$ que tiene una asíntota vertical en $x=\frac{1}{\ln(1.02)}\approx 50.498$ así que después de aproximadamente $50$ y un medio convencional días, la tierra alcanza infinito velocidad de rotación en este modelo.

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Discretos versión

El correspondiente modelo es discreto, similar a la dada en LaBird la respuesta, debe ser $$ x=\sum_{k=1}^y \frac{1}{1.02^{k-1}}=51\left(1-1.02^{-y}\right) $$ que también tiene una asíntota vertical, esta vez en $x=51$.

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Aquí es un gráfico de los dos modelos (continua como la curva de color rojo, discreto como puntos azules):

Answer 3

El uso de $1$ real año de la tierra como unidad de tiempo, y denotan la velocidad angular de la rotación de la tierra, que se mide en vueltas completas por año, por $f(t)$. A continuación,$f(0)=365$. Cuando la velocidad angular aumenta constantemente por $2\%$ por día tenemos $f(t)=e^{\lambda t}f(0)$ durante un cierto $\lambda>0$, y esto $\lambda$ está determinado por la condición de $$e^{\lambda/365}=1.02\doteq e^{0.02}\ .$$ Descuidar el error aquí obtenemos $\lambda=7.3$. Por lo tanto el número de fieltro días durante los próximos $20$ años a partir de ahora, está dada por $$\int_0^{20} f(t)\>dt=\int_0^{20} 365\>e^{7.3\>t}\>dt={365\over 7.3}\bigl(e^{146}-1\bigr)\ .$$ Contando la edad como el número de fieltro días dividido por 365 produce un sentido de la edad de $${1\over 7.3}\bigl(e^{146}-1\bigr)\doteq 3.49681\cdot10^{62}$$ años.

Answer 4

Si entiendo bien el problema, después de $1$ día la duración de un día convertirse $d_1=\dfrac{1}{1+k}$ donde $k=2\%$. Así que después de $n$ días la duración de la fa en un día es $d_n=(1+k)^{-n}$, y la diferencia con respecto a los viejos tiempos es $\Delta_n=n-\sum_{i=1}^n({1+k})^{-n}$. El uso de $n=365\times 20$ tenemos el resultado.