Demuestre que la variable aleatoria no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue

Question

La variable aleatoria es la siguiente:

$X = \sum_n \frac{\beta_{n}}{3^{n}}$ , donde $\beta_n$ es $0$ o $2$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ .

Answer 1

Tenga en cuenta que $X \in C$ donde $C$ es el conjunto de Cantor, ya que los dígitos ternarios permitidos son $0$ o $2$ . El conjunto de Cantor tiene la medida de Lebesgue $0$ . (Ver https://en.wikipedia.org/wiki/Cantor_set#Measure_and_probability ). Por lo tanto, $X$ no es absolutamente continua con respecto a la medida de Lebesgue, ya que $P(X \in C) = 1 > 0$ .

Answer 2

En sentido estricto, es la distribución de la variable aleatoria, y no la propia variable aleatoria, la que no es absolutamente continua. Y probablemente quieras añadir que $\beta_1, \beta_2, \beta_3, \ldots$ son independientes.

Tenga en cuenta que si $\beta_1=2$ entonces $2/3\le X\le 1$ y si $\beta_1=0$ entonces $0\le X\le 1/3.$

Así, $X$ se limita a estar dentro de un conjunto de medidas de Lebesgue $2/3.$

Del mismo modo, vea si puede demostrar que, porque $\beta_2$ debe ser $0$ o $2,$ $X$ se limita a estar dentro de $2/3$ de $2/3$ del intervalo $[0,1].$

Y entonces porque $\beta_3$ es $0$ o $2,$ está dentro de $2/3$ de $2/3$ de $2/3$ del intervalo.

Y así sucesivamente. Así que el apoyo de la distribución tiene medida no más que $(2/3)^n,$ para $n=1,2,3,\ldots.$