¿Qué categoría sin objeto inicial le interesa?

Question

Recientemente he estado escuchando algunas construcciones que han sido diseñadas para albergar categorías sin un objeto inicial. El hablante ha dado alguna idea de una o dos categorías que le interesan y, por tanto, de por qué estaba pensando en esta dirección, pero ahora me pregunto;

Como matemáticos en activo, ¿qué categoría les preocupa que no tenga un objeto inicial?

Siento que esta pregunta sea un poco extraña, la he hecho CW porque me parece apropiada.

Gracias.

Answer 1

En el álgebra universal y la teoría de modelos, se suele exigir que el conjunto subyacente no sea vacío. Si la firma tiene constantes en ella, entonces esto no es una restricción, pero en caso contrario, no hay objeto inicial. Por ejemplo, bajo esta definición no hay objeto inicial en la categoría de semigrupos. La razón de esta restricción es que cosas malas suceder a la lógica de primer orden cuando el conjunto portador subyacente está vacío. Muchos teoremas estándar se rompen cuando se permite el dominio vacío. Por ejemplo, el siguiente teorema de la lógica de primer orden $$ \forall x P(x) \rightarrow \exists x P(x) $$ se convierte en falso.

Answer 2

La categoría de campos no tiene objeto inicial: Tiene un componente conectado para cada característica, cada uno de los cuales tiene un objeto inicial (este es un caso especial de la observación general de Urs Schreiber sobre las categorías no conectadas, pero uno que me importa...)

Answer 3

Dejemos que R sea el tipo hiperfinito III ₁ (si no sabes lo que es, "deja que R sea un anillo" es una aproximación suficientemente buena). La siguiente categoría es equivalente a la categoría de R - R -bimódulos en espacios de Hilbert separables de dimensión infinita.

Objetos : Homomorfismos de anillos unitales R → R .
Morfismos : Hom( φ , ψ ) = { x ∈ R : ∀ y ∈ R , x φ (y) = ψ (y) x }

La composición de morfismos viene dada por la multiplicación en R . Esta categoría es en realidad una monoidal estricta, con una estructura monoidal dada por la composición de homomorfismos de anillos.

Answer 4

La categoría de anillos CDG (anillos DG curvos) no tiene un objeto inicial. (Un anillo CDG B = (B,d,h) es un anillo graduado B dotado de una derivación impar d de grado 1 y un elemento h de grado 2 tal que d 2 (b) = [h,b] para cualquier b de B y d(h)=0. Un morfismo de anillos CDG (B,d_B,h_B) → (A,d_A,h_A) es un par (f,a), donde f es un morfismo de anillos graduados A → B y a es un elemento de A de grado 1 tal que f(d_B(b)) = d_A(f(b)) + [a,f(b)] para cualquier b de B y f(h_B) = h_A + d_A(a) + a 2 donde [,] denota el supercomutador (con signos). Dejo la definición de la composición de morfismos a los lectores de esta respuesta).