¿Qué categoría sin objeto inicial le interesa?

Question

Recientemente he estado escuchando algunas construcciones que han sido diseñadas para albergar categorías sin un objeto inicial. El hablante ha dado alguna idea de una o dos categorías que le interesan y, por tanto, de por qué estaba pensando en esta dirección, pero ahora me pregunto;

Como matemáticos en activo, ¿qué categoría les preocupa que no tenga un objeto inicial?

Siento que esta pregunta sea un poco extraña, la he hecho CW porque me parece apropiada.

Gracias.

Answer 1

¿No es así que la categoría de campos no tiene un objeto inicial? Creo recordar haber visto mucho F_uss sobre esto en la web de vez en cuando.

Answer 2

Supongo que la pregunta se refiere únicamente a las "categorías concretas clásicas", aquellas cuyos objetos son conjuntos con estructura. De lo contrario, la clase de ejemplos que nos interesa es muy amplia y poco interesante (como clase).

Por ejemplo, un grupóide tiene un objeto inicial precisamente si es equivalente al grupóide trivial.

Toda unión disjunta de dos categorías no tiene objeto inicial.

Cualquier poset sin elementos más pequeños no tiene objeto inicial.

Answer 3

Las categorías de bordismo que surgen en el estudio de las teorías cuánticas de campo topológicas son extremadamente interesantes, pero no tienen objetos iniciales ni terminales (excepto en casos degenerados). Estas categorías tienen un cierto sabor a colectores d-dimensionales para los objetos y cobordismos (d+1)-dimensionales entre ellos para los morfismos. Véase la Wikipedia y n-lab artículos para más detalles y referencias.

Answer 4

Todos los lenguajes de programación basados en el cálculo lambda (Haskell, (OCa)ML, Clean, Coq, Agda) forman una categoría -- de hecho, de muchas maneras diferentes. Una forma es tener un objeto para cada tipo del lenguaje y un morfismo para cada expresión bien tipada con exactamente una variable libre. Si el lenguaje de programación tiene tipos lineales entonces esta categoría no tendrá un objeto terminal, ya que tal objeto implicaría la capacidad de "descartar" un valor de cualquier tipo.

Los tipos lineales son extremadamente útiles para dar a los lenguajes de programación funcional pura la capacidad de expresar operaciones de efecto lateral. En términos generales, se tiene un tipo lineal llamado "mundo"; cada función impura toma y devuelve un valor de ese tipo (y quizás también otros valores). Como no se puede duplicar o descartar un "mundo", su manejo impone un orden de evaluación determinista en todas las funciones impuras, y las transformaciones del programa no alterarán este orden. El resultado agregado de los efectos secundarios puede entonces ser razonado (formalmente, incluso).

Answer 5

La categoría de variedades (o simplemente esquemas integrales) no tiene objeto inicial. (El conjunto vacío no es irreducible; esto no demuestra mi afirmación, pero indica que la elección ingenua de un objeto inicial no funciona).