Construir un conjunto compacto con puntos límite contablemente infinitos utilizando $1/n + 1/m$ (Rudin, Cooke)

Question

Así que estoy teniendo problemas para demostrar que si $$ K= \{0\} \cup \left\{\frac1n: n = 1,2,\ldots\right\} \cup \left\{\frac1n + \frac1m : n=m,m+1,\ldots; m=1,2,\ldots \right\} $$ entonces 0 y los puntos $\frac1m$ son los únicos puntos límite de $K$ . Cooke lo demuestra diciendo que:

Desde $x\geq0$ para todos $x \in K$ y para cualquier número positivo $\epsilon$ sólo hay un conjunto finito de números s en $K$ más grande que $1+\epsilon$ está claro que ningún número negativo y ningún número mayor que 1 puede ser un punto límite de K. Por lo tanto, sólo necesitamos considerar los números positivos $x$ satisfaciendo $0\lt x \lt 1 $ . Si $x$ es un número así y $x$ no es uno de los puntos $\frac1m$ , dejemos que $p$ sea tal que $\frac1{1+p} \lt x \lt \frac1\epsilon$ y que $\epsilon=\frac12\min(x-\frac1{p+1},\frac1p - x)$ .

La intersección del conjunto $K$ con el intervalo $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ está contenido en el conjunto de puntos $$ \left\{\frac1{p+1}+\frac1k:p+1\le k \lt \frac1\epsilon\right\} \cup \left\{\frac1m+\frac1n:m\le n \lt \frac1{p+1} - \frac1{p+2}; m=p+2, \ldots,2p+2\right\}, $$ que es un conjunto finito. Por lo tanto, $x$ no puede ser un punto límite de $K$ .

Entiendo por qué tomas $\epsilon$ para ser la mitad de $\min$ y el uso de que toda vecindad alrededor de un punto límite contiene infinitos puntos, pero no entiendo por qué la intersección de $K$ con el intervalo $(x-\epsilon,x+\epsilon)$ está contenido en el conjunto mencionado anteriormente, y por qué es finito. ¿Es un error tipográfico? $$ \left\{\frac1m+\frac1n:m\le n \lt \frac1{p+1} - \frac1{p+2}; m=p+2, \ldots,2p+2\right\}, $$ aquí creo que n debe ser un número entero para que el argumento finito funcione, pero cómo puede ser $$ n \lt \frac1{p+1} - \frac1{p+2}\:\:? $$ Así es como he arreglado la errata para que funcione: si $$ \left\{\frac1m+\frac1n:m\le n \lt \frac1{p+1} - \frac1{p+2}; m=p+2, \ldots,2p+2\right\} $$ se cambia a $$ \left\{\frac1m+\frac1n: m\le n, \frac1n \ge \frac1{p+1} - \frac1{p+2}; m=p+2, \ldots,2p+2, n \in N\right\}, $$ entonces $m\le n \le (p+1)(p+2)$ que sería finito. ¿He entendido bien este argumento? Creo que hay una errata o error en la solución de Cooke, ya que la versión original no parece funcionar.

Sé que hay otras construcciones que se pueden entender fácilmente, pero me gustaría entender la prueba de Cooke de $\frac1n + \frac1m$ y ver si hay alguna errata o error en la solución original. Muchas gracias.

Answer 1

Como ha señalado, el argumento de Cooke es erróneo.

El arreglo que propones está bien.

He aquí un argumento alternativo. . .

Usando la elección de Cooke de $\epsilon$ y $p$ , dejemos que $A=(x-\epsilon,x+\epsilon)$ .

Para mostrar $A\cap K$ es finito, podemos argumentar lo siguiente \begin{align*} &\epsilon= \frac{1}{2} \min \!\left\{ x-\frac{1}{p+1},\frac{1}{p} - x \right\} \\[4pt] \implies\;& \begin{cases} 2\epsilon < x-{\large{\frac1{p+1}}}\\[4pt] 2\epsilon < {\large{\frac{1}{p}}} - x\\ \end{cases} \\[4pt] \N - Implica; &\frac{1}{p+1}+\filón < x-\filón < x+\filón < \frac{1}{p}-\filón[4pt] \implies\;&A\subset B,\;\text{where}\;B=\left(\frac{1}{p+1}+\epsilon,\frac{1}{p}-\epsilon\right)\\[0pt] |align*} Si ${\large{\frac{1}{n}}}\in B$ para algún número entero positivo $n$ entonces \begin{align*} &\frac{1}{n}\in B\\[4pt] \implies\;&\frac{1}{p+1}+\epsilon < \frac{1}{n} < \frac{1}{p}-\epsilon\\[4pt] \implies\;&\frac{1}{p+1} < \frac{1}{n} < \frac{1}{p}\\[4pt] \implies\;&p < n < p+1\\[4pt] \end{align*} contradicción.

Así, $B$ no contiene elementos de la forma ${\large{\frac{1}{n}}}$ , donde $n$ es un número entero positivo.

A continuación, dejemos que $X$ sea el conjunto de pares $(m,n)$ de enteros positivos con $m\le n$ tal que ${\large{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\in B$ . \begin{align*} \text{Then}\;\;&(m,n)\in X\\[4pt] \implies\;&\frac{1}{n}+\frac{1}{m}\in B\\[4pt] \implies\;&\frac{1}{n}+\frac{1}{m} > \frac{1}{p+1}\\[4pt] \implies\;&\frac{2}{m} > \frac{1}{p+1}\\[4pt] \implies\;&m < 2(p+1)\\[4pt] \end{align*} por lo que sólo hay un número finito de opciones para $m$ .

Supongamos que $X$ es infinito.

Dado que sólo hay un número finito de opciones para $m$ se deduce que, para un número fijo de $m$ , digamos que $m=M$ hay infinitos enteros positivos $n$ tal que ${\large{\frac{1}{n}+\frac{1}{M}}}\in B$ .

De ello se desprende que ${\large{\frac{1}{M}}}$ es un punto límite de $B$ Por lo tanto \begin{align*} &\frac{1}{p+1}+\epsilon\le\frac{1}{M}\le\frac{1}{p}-\epsilon\\[4pt] \implies\;&\frac{1}{p+1} < \frac{1}{M} < \frac{1}{p}\\[4pt] \implies\;&p < M < p+1\\[4pt] \end{align*} contradicción.

Por lo tanto, $X$ es finito.

De ello se desprende que $B\cap K$ es finito.

Por lo tanto, ya que $A\subset B$ se deduce que $A\cap K$ es finito, como se iba a demostrar.