Demostrar que los elementos de un anillo finito son divisores de cero o unidades Y deducir que toda integral finita es un campo

Question

Demostrar que si R es un anillo finito con identidad, entonces todo elemento no nulo de R es un divisor de cero o una unidad. Deducir que toda integral finita es un campo.

Pista: Sea x un elemento no nulo de R que no es un divisor cero. Demuestre que $x^n$ para algunos $n \in N$ y deducir de ello que x debe ser una unidad.

Answer 1

Existen $n>m$ con $x^n=x^m$ esto implica que $x^m(x^{n-m}-1)=0$ , si $x^{m-1}(x^{n-m}-1)\neq 0$ entonces $x$ es un divisor de cero .

Si $x^{m-1}(x^{n-m}-1)=0$ y $m=1$ deducimos que $x^{n-m}=1$ y $x$ es una unidad, si $m>1$ procedemos recursivamente repitiendo el paso anterior.