Encuentre todos $z\in\mathbb{C}$ satisfaciendo $z^2 = |z|^2$

Question

Dejemos que $z=x+yi$ Me sale $y=xi$ finalmente, pero ¿cuál es el siguiente paso?

Answer 1

Tenga en cuenta que $|z|^2 = z\bar z$ . Por lo tanto, tenemos $$ z^2 = |z|^2\\ z^2 - z\bar z = 0\\ z(z - \bar z) = 0 $$ así que: debemos tener $z = 0$ o $z = \bar z$ (es decir, que $Im(z) = 0$ ).

Answer 2

Claramente $|z|^2$ es real y no negativo. Por lo tanto, se necesita $z^2$ real y no negativo. Eso ocurre si $z$ es real, y en ese caso está claro que $z^2=|z|^2$ . Por último, observe que si $z$ no es real, entonces $z^2$ o no es real o es negativo.

Así que la solución es: $z$ es real.

Answer 3

En realidad, no hay necesidad de romper $z$ en partes reales o forma polar o casos múltiples. En primer lugar $|z|^2=z\bar z$ Así que usted está viendo la ecuación $z\bar z = zz$ .

O bien $z=0$ o bien puede cancelar $z$ de ambos lados, de donde $z=\bar z$ y en cualquier caso eso significa $z$ es real.

Por lo tanto, sólo funcionarán los números reales, y está claro que todos funcionan.

Answer 4

$z^2=(x+yi)^2=x^2+2xyi-y^2$

$|z|^2=x^2+y^2$

entonces resuelve $2xy=0$ y $x^2+y^2=x^2-y^2$

Si $x=0$ tenemos $y=0$

si $y=0$ tenemos $x\in \mathbb{R}$

Finalmente, podemos concluir que ocurre cuando z es real

Answer 5

Por supuesto $z=0$ es una solución. Si $z\ne0$ , escriba $z=|z|u$ , donde $|u|=1$ . Entonces la ecuación se convierte en $$ |z|^2u^2=|z|^2 $$ ¿Puede decir qué $u$ debe ser y terminar?