Evaluación de $\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1}\right)$ sin l'hospital

Question

¿Puede ayudarme con este límite?

$$\lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1}\right)$$

He intentado utilizar esta fórmula $$ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}x = 1$$

Answer 1

Tenemos que

$$ \frac{1}{x} - \frac{1}{e^x-1}=\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}=\frac{x}{e^x-1}\frac{e^x-1-x}{x^2}$$

entonces usa eso

• $\frac{e^x-1}{x} \to 1$
• $\frac{e^x-1-x}{x^2} \to \frac12$

como se muestra aquí

• ¿Se pueden resolver todos los límites sin la regla de L'Hôpital o la expansión en serie?
• $\lim_{x\to0}\frac{e^x-1-x}{x^2}$ utilizando únicamente las reglas del álgebra de límites.