¿Implica la convergencia débil la convergencia fuerte para la medida parametrizada?

Question

Definir para una cierta densidad $q_{\kappa_n}$ (con respecto a la medida de Lebesgue) en $\Theta$ parametrizado por $\kappa_n \in \mathbb{R}^d$ . A continuación, defina la secuencia de medidas $\mu_n$ como

$$\mu_n(A) = \int_{A}q_{\kappa_n}(\theta)d\theta, \text{ for all measurable } A\subset \Theta.$$

Supongamos que (i) $\mu_n \overset{w}{\to} \delta_{\theta^{\ast}}$ es decir, la secuencia de medidas $\mu_n$ converge débilmente a una medida de Dirac (masa puntual) en $\theta^{\ast}$ y que (ii) $\kappa_n \to \kappa^{\ast}$ donde esta última convergencia se produce en la topología euclidiana estándar.

¿Implica esto una fuerte convergencia? (Es decir, ¿se sostiene que $\|\mu_n - \delta_{\theta^{\ast}}\|_{\text{TVD}} \to 0$ ?)

Answer 1

Está claro que no. Las medidas de masas puntuales están todas a distancia de TV 1 de todas las medidas con funciones de densidad, y el conjunto $A=\{\theta^*\}$ alcanza el máximo de $|\mu_n(A)-\delta_{\theta^*}(A)|$ que se evalúa como $1$ .