$\lim_{z\to -1} (z+1) \sin(\frac{1}{z+1})$ para la variable compleja $z$ .

Question

Quiero encontrar este límite para la variable compleja $z$

$$\lim_{z\to -1} (z+1) \sin(\frac{1}{z+1})$$

En el caso real que conozco $\sin(z)$ está limitada por $-1, 1,$ y el límite es $0$ . Pero en el caso complejo $\sin(z)$ no está acotado. ¿Cómo puedo encontrar el límite o demostrar que no existe?

Answer 1

Se puede considerar primero la secuencia $\left\{z_n \right\}$ de números complejos tal que $$ z_n+1=\frac1{n\pi}, \quad n \to \infty, \quad z_n \to -1, $$ dando $$ \lim_{z_n\to -1} (z_n+1) \sin\left(\frac{1}{z_n+1}\right)=\lim_{n\to \infty} \frac1{n\pi} \sin(n\pi)=0. $$ Entonces se puede considerar la secuencia $\left\{z_n \right\}$ de números complejos tal que $$ z_n+1=\frac1{n\pi i}, \quad n \to \infty, \quad z_n \to -1, $$ dando $$ \lim_{z_n\to -1} (z_n+1) \sin\left(\frac{1}{z_n+1}\right)=\lim_{n\to \infty} \frac{e^{n\pi}-e^{-n\pi}}{2n\pi}=\infty. $$

Entonces se considera el límite $$\lim_{z\to -1} (z+1) \sin\left(\frac{1}{z+1}\right)$$ no existe .