Tengo una confusión con respecto al punto 0*P en una curva elíptica que me dicen que no es el punto (0,0) . ¿Es el punto en el infinito? ¿Qué es lo que 0*P ¿significa realmente?
Respuesta
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Dejemos que $E$ sea una curva elíptica; es decir, una ecuación cúbica "suficientemente buena $y^2 = x^3 + ax + b$ , donde $a$ y $b$ son elementos de un campo [de característica no $2$ o $3$ ]. La definición ingenua de la estructura de grupo en [el $K$ -de] una curva elíptica viene dada por lo siguiente. Sea $P$ y $Q$ sean dos [ $K$ -puntos [valorados] en su curva (es decir, soluciones en $K^2$ a la ecuación que define $E$ ). Entonces $P + Q$ es la reflexión sobre el $x$ -eje del tercer punto de intersección de la curva elíptica y la línea que pasa por $P$ y $Q$ (nota: hay que tener cuidado en el caso de que se añada $P$ a sí mismo, y con la multiplicidad de la intersección de la línea con la curva). Con esta estructura, los puntos de su curva elíptica casi forman un grupo. ¿Qué es la identidad? Para definir la identidad, tenemos que extender realmente $E$ a una curva proyectiva. Para ello, homogeneizamos: añadimos otra variable $z$ a la ecuación de manera que todos los términos tengan el mismo grado total. Es decir, $y^2 = x^3 + ax + b$ se convierte en $y^2 z = x^3 + axz^2 + bz^3$ . Consideramos ahora las soluciones de esta ecuación en $K^3$ con algunas restricciones:
- $(0,0,0)$ no se considera una solución válida. (Sólo se consideran las soluciones $(a,b,c)$ donde al menos uno de $a,b,c$ es distinto de cero).
- $(a,b,c)$ y $(a',b',c')$ se consideran el mismo punto si existe $k\in K^\times$ tal que $a = ka'$ , $b = kb'$ , $c = kc'$ .
Llamamos a una clase de equivalencia de soluciones (bajo la equivalencia de $2$ .) a punto proyectivo en $E$ . a Todo ingenuo $K$ -punto valorado $(x_0,y_0)$ de nuestra curva es un punto proyectivo: $(x_0,y_0)$ corresponde a la clase de equivalencia de $(x_0,y_0,1)$ . Sin embargo, ahora obtenemos un nuevo punto en la curva que antes no teníamos: $(0,1,0)$ . Puedes pensar que este nuevo punto está "en el infinito" de la curva. Ahora bien, puede ocurrir que una línea que pasa por $E$ se cruza con $E$ sólo dos veces (incluso con multiplicidad) en $K^2$ . El último punto de intersección se considera el punto en el infinito. En particular, una línea vertical que pasa por $E$ en al menos un punto pasa por $E$ en exactamente dos puntos (con multiplicidad), y el tercer punto es el punto $\infty$ en el infinito. Con nuestra interpretación de grupo, esto nos diría que si $P = (x_0,y_0)$ , $-P = (x_0,-y_0)$ entonces $P + (-P) = \infty$ . También tenemos de manera similar $P + \infty = \infty + P = P$ . Por lo tanto, el punto en el infinito es la identidad de nuestra curva elíptica.
Podemos ver fácilmente que $(0,0)$ no puede ser la identidad de $E$ en general: $(0,0)$ puede que ni siquiera sea un punto de la curva. Tome $E$ definido por $y^2 = x^3 + 2$ por ejemplo. ( $0\neq 0 + 2$ .)
