Dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo con unidad , sé que asumiendo el axioma de elección , si $A$ es el conjunto de todos los divisores de cero (incluyendo $0$ ) entonces es una unión de ideales primos por lo que contiene un ideal primo . ¿Podemos demostrar, sin elección, que el conjunto de todos los divisores de cero (incluyendo $0$ ) de un anillo conmutativo con unidad contiene un ideal primo? ¿Es equivalente al axioma de elección?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
geeklin
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El comentario de rschwieb me ha hecho pensar que es el momento de ponerlo todo junto.
La declaración
A) El conjunto de divisores cero de un anillo conmutativo es la unión de ideales primos.
requiere la existencia de ideales primos en cualquier anillo conmutativo. Según esta respuesta de MO la existencia de primos es equivalente a la teorema del ideal primo booleano (BPI para abreviar). Como hay modelos de ZF en los que hay anillos sin ideales primos, mientras que BPI es más débil que el axioma de elección, lo mejor que podemos hacer es demostrar A en ZF+BPI. La misma respuesta de MO también da una referencia según la cual en ZF+BPI también se cumple lo siguiente:
B) Que $A$ sea cualquier anillo conmutativo, $S\subset A$ un subconjunto cerrado multiplicativo (que contiene $1$ ), y $\mathfrak{a}\subset A$ un ideal disjunto de $S$ . Entonces $\mathfrak{a}$ está contenido en un ideal primo $\mathfrak{p}\subset A$ que es disjunta de $S$ también.
Sin embargo, esto es suficiente para concluir A, como se muestra en los comentarios. Permítanme recordar brevemente el argumento, en aras de la exhaustividad.
El conjunto de divisores no(!)-cero $S\subset A$ contiene $1$ y es multiplicativo cerrado. Además, cualquier divisor cero $a\in A$ genera un ideal $Aa\subset A$ disjunta de $S$ . Por B, existe un ideal primo $\mathfrak{p}$ disjuntos de $S$ y que contiene $Aa$ . Por lo tanto, la unión de todos los ideales primos $\mathfrak{p}\subset A$ disjuntos de $S$ es todo $A-S$ el conjunto de los divisores de cero en $A$ , según se desee.
