FCD de una función de distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta

Question

En mi tarea, me he encontrado con esta pregunta:

Dejemos que $X$ sea una variable aleatoria discreta que alcanza los valores $x_1 < \dots < x_n$ con probabilidades $p_1, \dots , p_n$ . Con $F$ la cdf de $X$ ¿cuál es la fdc de $F(X)$ ?

Sé que $F(X)$ es: $$0;(-\infty,x_1)\\ p_1;[x_1,x_2)\\ \vdots\\ p_1+\dots+p_{n-1};[x_{n-1},x_n)\\ 1;[x_n,\infty)$$

Ahora, a partir de esto se supone que debo crear otro CDF. ¿Es esto posible? He encontrado una solución que va así:

$$0;(-\infty,0)\\ \frac{x_1-m}{p-m};[0,p_1)\\ \vdots\\ \frac{x_n-m}{p-m};[p_{n-1},p_n)\\ 1;[p_n,\infty)$$ Con $m$ que va a menos infinito y $p$ yendo hasta el infinito. No puedo entender el $p$ y $m$ en las fracciones, ¿se supone que están "normalizando" la función de distribución para que vaya a 1? ¿Cómo funciona?

Answer 1

En primer lugar, tenga en cuenta que $F(x)=\mathbb P(X\leq x)$ es la función de $x$ , no de $X$ : $$ F(x) = \begin{cases}0, & x\in (-\infty, x_1), \cr p_1, & x\in[x_1,x_2),\cr \dots & \cr p_1+\dots+p_{n-1}, & x\in[x_{n-1},x_n),\cr 1, & x \in [x_n,\infty). \end{cases} $$

Dejemos que $Y=F(X)$ . Es necesario sustituir $X$ en la función $F(x)$ en lugar de la variable. Dado que $X$ sólo puede tomar valores $x_1,\ldots,x_n$ , $F(X)$ también es una variable aleatoria discreta. ¿Cuáles son sus valores?

En el caso de que $X=x_1$ , $Y=F(X)=F(x_1)=p_1$ . Así que $\mathbb P(Y=p_1)=\mathbb P(X=x_1)=p_1$ .

Si $X=x_2$ entonces $Y=F(X)=F(x_2)=p_1+p_2$ . Y $\mathbb P(Y=p_1+p_2)=\mathbb P(X=x_2)=p_2$ .

Continuar para todos los valores de $X$ . Y luego construir la CDF de $Y$ .

La solución que has encontrado en algún sitio no se aplica a esta tarea.