Dejemos que $X$ denotan el "ortante" no negativo del espacio de Banach $L^2$ (o como se llame el conjunto de funciones en $L^2$ que sean no negativos), y que $C$ sea un subconjunto cerrado y convexo de $X$ . Sea $f$ sea una función estrictamente convexa definida en $X$ y supongamos que el problema $$\text{minimize}~ f(x)~s.t.~x\in C$$ admite una solución única $x_0\in C$ . Además, supongamos que también existe un único "plano tangente" a $C$ en $x_0$ es decir, un único funcional $y_0 \in L^2$ tal que $\left\langle x_{0},y_{0}\right\rangle = q$ y $\left\langle x,y_{0}\right\rangle\leq q$ para todos los demás $x\in C$ . ¿Es también cierto que $x_0$ minimiza el problema relajado $$\text{minimize}~ f(x)~s.t.~\left\langle x,y_{0}\right\rangle\leq q~?$$ ¿Podría hacer mi problema más manejable considerando un espacio diferente de funciones en lugar de $L^2$ por ejemplo, funciones continuas o $L^\infty$ ¿ por ejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Supongamos que su $f$ es al menos direccionalmente diferenciable en $x_0$ y que la derivada direccional depende continuamente de la dirección (esto puede cumplirse bajo supuestos bastante generales, por ejemplo, si $f$ es localmente Lipschitz).
Entonces, las condiciones de optimalidad de primer orden (necesarias y - debido a la convexidad - suficientes) de su primer problema son $$f'(x_0;d) \ge 0 \quad\forall d \in T_C(x_0),$$ donde $T_C(x_0)$ es el cono tangente de $C$ en $x_0$ . Dado que su función $y_0$ es único, encontramos $T_C(x_0) = y_0^\circ$ , donde $y_0^\circ = \{d : \langle d, y_0\rangle \le 0\}$ es el cono polar de $y_0$ . De este modo se obtienen las condiciones de optimalidad $$f'(x_0;d) \ge 0 \quad\forall d \in y_0^\circ,$$ pero estas son precisamente las condiciones de primer orden (nec. y suf.) del segundo problema.
