Una función integrable, pero no necesariamente continua, es continua cuando se integra.

Question

Dejemos que $f:\left[0,1\right]\to\mathbb{R}$ sea una función integrable, pero no necesariamente continua, con la propiedad de que $0\leq f(s)\leq 1$ . Sea $g:\left[0,1\right]\to\mathbb{R}$ sea la función dada por: $$ g(t)=\int_{0}^{t}f(s)\,ds. $$ Demostrar que $g$ es continua.

Answer 1

Esta demostración es para una función integrable de Riemann, es decir, acotada.

$g(t_2)-g(t_1)=\int_{t_1}^{t_2}f(s)ds$ . Desde $|f(s)|\le M$ , $|g(t_2)-g(t_1)|\le M(t_2-t_1)$ . Para cualquier $\epsilon$ , dejemos que $\delta=\frac{\epsilon}{M}$ . De modo que para cualquier $\epsilon \gt 0$ Hay un $\delta$ donde $|t_2-t_1|\lt \delta$ , $|g(t_2)-g(t_1)|\lt \epsilon$ .

Answer 2

Lo resolveremos mediante la $\epsilon-\delta$ definición.

Dejemos que $t>t_0$ . Entonces, tenemos - $$|g(t)-g(t_0)| = \left|\int_{t_0}^tf(s)ds\right|$$ Ahora, como $0<f(s)<1$ , $|f(s)|<1$ y obtenemos - $$\left|\int_{t_0}^tf(s)ds\right| \le \int_{t_0}^t|f(s)|ds\le |t-t_0|$$ Así, $|g(t)-g(t_0)|\le|t-t_0|$ y la continuidad se obtiene tomando $\delta = \epsilon$ en el $\epsilon-\delta$ definición.