Si tenemos la descomposición del grupo de cohomología en $S^{n}$ parece que $H^{n}(S^{n})=H^{n}(S^{n})_{+}\oplus H^{n}(S^{n})_{-}$ , donde $H^{n}(S^{n})_{\pm}$ cohomología de invariante o anti-invariante $n$ formulario en $S^{n}$ . Por qué uno de $H^{n}(S^{n})_{\pm}$ son trivalentes en dependencia de $n$ ¿impar o incluso?
Respuesta
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Khushi
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Como señala John, la respuesta a tu primera pregunta tiene muy poco que ver con la cohomología.
Como $H^n(S^n) = H^n_+(S^n) \oplus H^n_-(S^n)$ , $\dim H^n(S^n) = \dim H^n_+(S^n) + \dim H^n_-(S^n)$ pero $H^n(S^n) \cong \mathbb{R}$ como $S^n$ es una orientable compacta y conectada $n$ -de la región, por lo que $\dim H^n(S^n) = 1$ así que $\{\dim H^n_+(S^n), \dim H^n_-(S^n)\} = \{0, 1\}$ .
En cuanto a la dependencia de $n$ que sí se relaciona con la cohomología.
Lo que hay que saber es que el mapa antipodal conserva la orientación si y sólo si $n$ es impar (por lo que es de orientación inversa si y sólo si $n$ es par); este resultado se da como ejercicio $15$ - $3$ en Lee's Introducción a los colectores suaves , segunda edición. Otra forma de decirlo es $\dim H^n_+(S^n) = 1$ si y sólo si $n$ es impar (así que $\dim H^n_-(S^n) = 1$ si y sólo si $n$ es par). La equivalencia se deduce porque $H^n(S^n)$ está generada por la clase de cohomología de una forma de orientación.
