Todos sabemos que el seno es uno sobre la cosecante, el coseno es uno sobre la secante, etc.
¿Pero existe alguna relación entre el seno y el coseno, la secante y la cosecante, y la tangente y la cotangente?
Lo que pregunto aquí es el significado del prefijo "co-".
Gracias.
Lo hay; son la función aplicada a co miento del ángulo dado:
$$ \cos(x) = \sin(\frac{\pi}{2} - x) $$
$$ \csc(x) = \sec(\frac{\pi}{2} - x) $$
$$ \cot(x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x) $$
Esto es válido para todos los $x$ no sólo para $x < \frac{\pi}{2}$ . Obsérvese también que estas relaciones se mantienen en sentido inverso, ya que al tomar el complemento de un complemento se obtiene el ángulo original.
cosinus significaba de hecho sinus complementarios (seno del complementario) y así sucesivamente.
¡Ja! ¿Cómo es posible que en décadas de uso (y en ocasiones de enseñanza) de estas funciones, nunca me haya dado cuenta de esto? Y es obvio ahora que lo señalas.
@NormanGray Creo que es fácil no darse cuenta porque muy rara vez escribimos las palabras completas. La relación no está nada clara cuando sólo miramos las letras en $\cos$ y $\sin$ .
Para los ángulos agudos podemos imaginar esta relación dentro de un triángulo rectángulo.
Los dos ángulos $\theta$ y $\phi$ son complementario es decir, que sumen un ángulo recto, ya que los ángulos de un triángulo deben sumar dos ángulos rectos. Pero dependiendo del ángulo que elijamos como ángulo de interés, cambia qué lado cuenta como "adyacente" y cuál como "opuesto". Así que tenemos:
$$\sin \theta \equiv \frac{\text{opp}(\theta)}{\text{hyp}} \equiv \frac{\text{adj}(\phi)}{\text{hyp}} \equiv \cos \phi \equiv \cos \left(\frac {\pi}{2} - \theta \right)$$
$$\tan \theta \equiv \frac{\text{opp}(\theta)}{\text{adj}(\theta)} \equiv \frac{\text{adj}(\phi)}{\text{opp}(\phi)} \equiv \cot \phi \equiv \cot \left(\frac {\pi}{2} - \theta \right)$$
$$\sec \theta \equiv \frac{\text{hyp}}{\text{adj}(\theta)} \equiv \frac{\text{hyp}}{\text{opp}(\phi)} \equiv \csc \phi \equiv \csc \left(\frac {\pi}{2} - \theta \right)$$
Para los lectores que no estén familiarizados con medida del radián , sustituye al misterioso $\frac{\pi}{2}$ por $90°$ . Por eso, por ejemplo, $\sin 30° = \cos 60°$ . Para los ángulos negativos o los que están más allá de un ángulo recto, es necesario considerar el círculo de unidades en lugar de SOHCAHTOA como definición de las funciones trigonométricas (fuente de la imagen):
El radio que hace un ángulo $\theta$ con el positivo $x$ -El eje se cruza con la circunferencia en nuestro punto de interés (marcado en rojo en el diagrama). El $y$ -La coordenada de este punto se define como $\sin \theta$ . En el caso de los ángulos agudos, es la longitud del segmento de línea vertical desde el punto hasta el $x$ -pero para los ángulos en el eje tercer y cuarto cuadrante (cuando el punto está por debajo del $x$ -eje, por lo que el $y$ -la coordenada es negativa) $\sin \theta$ es el negativo de esta longitud.
Prolongando el radio hasta encontrar la tangente (vertical) al círculo en $(1,0)$ da la línea secante. El $y$ -La coordenada del punto de intersección entre la tangente y la secante es $\tan \theta$ - ¿puede ver el problema con $\tan 90°$ y $\tan 270°$ ? Para los ángulos agudos es simplemente la longitud de ese segmento de la tangente, pero para los ángulos en el segundo y cuarto cuadrante encontramos que $\tan \theta$ es negativo. Del mismo modo, para los ángulos agudos, $\sec \theta$ es la longitud del segmento de la secante desde el origen hasta la tangente, pero para los ángulos en el segundo y tercer cuadrante es el negativo de esa longitud (estos son los casos en los que la secante tiene que "salir del fondo de la circunferencia": el segmento que medimos interseca la circunferencia no en nuestro punto de interés original sino en su punto antipodal ).
El coseno, la cosecante y la cotangente se definen de forma análoga, pero cambiando "horizontal" y "vertical", $x$ - y $y$ -coordenadas y ejes, y la tangente en $(1,0)$ , donde $\theta$ es cero, con la tangente en $(0,1)$ , donde $\theta$ es un ángulo recto. Esto es esencialmente un reflexión a través de la línea de 45° . Esto muestra cómo las tres identidades trigonométricas anteriores son válidas también para ángulos que no son agudos. Puedes dibujar una gráfica de cada función trigonométrica y luego dibujar su reflexión a través de $\theta = 45°$ (que será una línea vertical en su gráfico). Por ejemplo, aquí la reflexión de la gráfica del seno (azul) nos da la gráfica del coseno (rojo). Observa que, en general, la transformación de $y=f(x)$ a $y=f(2k-x)$ es un reflejo a través de $x=k$ donde en nuestro caso $k=45°$ .
Quiero dar un par de ejemplos prácticos de por qué nos pueden interesar las identidades trigonométricas complementarias, pero primero un inciso. Habrás notado que en mi definición de las funciones trigonométricas de los círculos unitarios no hice uso de las identidades trigonométricas recíprocas (que $\sec$ es el recíproco de $\cos$ etc.). De hecho, la inspección de los dos diagramas revela tres triángulos rectángulos similares que producen:
$$\cos \theta : \sin \theta : 1 \equiv \cot \theta : 1 : \csc \theta \equiv 1 : \tan \theta : \sec \theta $$
A partir de esta relación, podemos Deducir las identidades recíprocas, y hechos como $\frac{\sin \theta}{\cos \theta} \equiv \frac{1}{\cot \theta} \equiv \tan \theta $ (divide el segundo término entre el primero). Si no tengo tiempo para enseñar el círculo completo de la unidad, mi explicación reducida es que el $x$ -La coordenada del punto de interés es $\cos \theta$ El $y$ -coordinación es $\sin \theta$ y el gradiente del radio es $\tan \theta$ . Esto oculta el significado geométrico de las funciones trigonométricas recíprocas, y por qué $\tan$ es la abreviatura de "tangente", pero hace hincapié en la $\frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ identidad y da una forma clara de ver el problema con $\tan 90°$ . Lamentablemente, la interpretación del gradiente para $\tan$ no se extiende bien a $\cot$ , ya que lo que era $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ se convierte en $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ después de la reflexión a través de la línea de 45° (porque el $x$ y $y$ swap), que es el recíproco de un gradiente en lugar de una pendiente, por lo que es más difícil de interpretar. Sin embargo, esto es suficiente para demostrar que $\cot \theta$ (es decir, el $\tan$ del ángulo complementario) es el recíproco de $\tan \theta$ sin trazar las rectas tangentes y secantes sobre la circunferencia unitaria ni considerar los triángulos semejantes.
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Supongamos que hemos deducido una identidad como $\tan^2 \theta + 1 \equiv \sec^2 \theta$ (por ejemplo, dividiendo $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ por $\cos^2 \theta$ o realizando Pitágoras en uno de esos triángulos rectángulos similares que mencioné antes). Como esto es cierto para cualquier valor de $\theta$ podemos sustituir $\theta$ por $90° - \theta$ . A continuación, obtenemos $\tan^2 (90° - \theta) + 1 \equiv \sec^2 (90° - \theta)$ y por lo tanto $\cot^2 \theta + 1 \equiv \csc^2 \theta$ .
Del mismo modo, desde $\tan \theta \equiv \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ deducimos $\tan (90° - \theta) \equiv \frac{\sin (90° - \theta)}{\cos (90° - \theta)}$ y por lo tanto $\cot \theta \equiv \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ . Otra forma de demostrar que $\cot$ es el recíproco de $\tan$ ¡!
Los resultados no siempre son tan esclarecedores. Pruébalo en $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta \equiv 1$ para ver por qué.
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Si ha luchado contra el derivación de la derivada del seno , es posible que no tengas ganas de demostrar la derivada del coseno. Pero podemos utilizar la identidad del ángulo complementario y luego la regla de la cadena:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \cos x = \frac{\text{d}}{\text{d}x} \sin \left(\frac{\pi}{2} - x \right) = - \cos\left(\frac{\pi}{2} - x \right) = - \sin x$$
El mismo truco muestra por qué los pares de funciones trigonométricas complementarias tienen derivadas de forma similar pero de signo invertido y $\sin \leftrightarrow \cos$ , $\sec \leftrightarrow \csc$ y $\tan \leftrightarrow \cot$ . Por ejemplo:
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \tan x = \sec^2 x \implies \frac{\text{d}}{\text{d}x} \cot x = -\csc^2 x$$
$$\frac{\text{d}}{\text{d}x} \sec x = \sec x \tan x \implies \frac{\text{d}}{\text{d}x} \csc x = -\csc x \cot x $$
Compilación y lectura de tablas matemáticas
Antes de la era de las calculadoras electrónicas de mano, los cálculos trigonométricos se realizaban con tablas matemáticas . La relación entre las funciones trigonométricas complementarias sería muy obvia para cualquier usuario del Manuale Mathematicum de Matthias Bernegger publicado en 1612. Aquí hay un extracto que tomé de archive.org mostrando la economía de presentación que permite el uso de ángulos complementarios.
Puede que esté más acostumbrado a presentar las fracciones de un grado en notación decimal, pero el sistema utilizado aquí es sexagesimal con cada grado dividido en 60 minutos de arco (y aunque no se muestre aquí, éstas se dividen a su vez en 60 segundos). Obsérvese cómo la columna de la izquierda permite buscar un ángulo, mientras que la de la derecha contiene su complemento. Las únicas funciones trigonométricas que aparecen son sinuum , tangentium y secantium pero para cada uno de ellos se dan dos valores: la entrada de la izquierda corresponde al ángulo de la columna más a la izquierda, la entrada de la derecha al ángulo complementario de la columna más a la derecha. Por lo tanto, el coseno, la cotangente y la cosecante del ángulo más a la izquierda se dan como segundo en el seno, la tangente y la secante, y los correspondientes al ángulo superior derecho se dan como primero entrada.
Por ejemplo, podemos leer en la columna de la izquierda que $\sin (12° 42') = 0.21985$ y en la columna más a la derecha de la misma fila vemos que $\sin (77° 18') = 0.97533$ . Tenemos inmediatamente que $\cos (12° 42') = 0.97533$ y que $\cos (77° 18') = 0.21985$ . Por cierto, ambas cifras coincidían con la respuesta de mi calculadora electrónica con el nivel de precisión especificado.
La tabla sólo tiene que cubrir de cero a noventa grados, ya que más allá de este punto podemos utilizar la simetría y la periodicidad de las funciones trigonométricas. De hecho, la página final de la tabla se detiene cuando el ángulo de la columna de la izquierda alcanza los 45 grados; para ángulos mayores hay que retroceder a través del Manual, leyendo el ángulo de la columna más a la derecha. Esta explotación de la simetría a través de la línea de 45° reduce a la mitad el tamaño de la tabla.
Tengo la firme sospecha de que para la gente que hacía geometría hace cuatrocientos años, esta identidad habría sido más "obvia" (o al menos, una herramienta indispensable del oficio) que para los que hemos nacido en la Era del Silicio.
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